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बहुपद की परिभाषा और प्रकार
बहुपद बीजगणित में एक मौलिक अवधारणा हैं और गणित के विभिन्न क्षेत्रों में अक्सर मिलते हैं। यह समझना कि बहुपद क्या हैं और उनके विभिन्न प्रकार क्या हैं, बीजगणितीय समस्याओं को हल करने और गणितीय अभिव्यक्तियों के साथ काम करने के लिए आवश्यक है।
बहुपद क्या होता है?
सरल शब्दों में, एक बहुपद एक गणितीय अभिव्यक्ति है जो चर और गुणांक से बनी होती है, जिसमें केवल जोड़, घटाव, गुणा और चरों के पूर्णांक घातांक शामिल होते हैं। आइए इस अवधारणा को अधिक विस्तार से समझें।
अभिव्यक्ति पर विचार करें:
2x² + 3x + 5यह तीन पदों वाला बहुपद है: 2x², 3x, और 5।
बहुपद के घटक
बहुपदों को पूरी तरह से समझने के लिए उनके घटकों को पहचानना महत्वपूर्ण है:
- चर: एक प्रतीक, आमतौर पर
x,y, याz, जो एक अज्ञात मान का प्रतिनिधित्व करता है। - गुणांक: वह संख्या जो चर से गुणा की जाती है।
3xमें,3गुणांक है। - घातांक: वह शक्ति जिसके लिए एक चर उठाया जाता है।
x²में, घातांक2है। - पद: बहुपद के व्यक्तिगत भाग जो जोड़ या घटाव से अलग होते हैं।
2x² + 3x + 5में, पद हैं2x²,3xऔर5। - अचर: एक पद जिसमें कोई चर नहीं होता।
2x² + 3x + 5में,5अचर पद है।
बहुपद की डिग्री
बहुपद की डिग्री बहुपद में चर के सबसे बड़े घातांक को कहा जाता है। यह ग्राफ की सामान्य आकृति और बहुपद समीकरण के समाधानों या मूल्यों की संख्या को निर्धारित करता है।
उदाहरण के लिए, बहुपद 2x³ + 3x² + x + 7 में डिग्री 3 है क्योंकि x का सबसे बड़ा घातांक 3 है।
बहुपद के प्रकार
बहुपदों को उनकी डिग्री या उनमें पदों की संख्या के आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है। यहाँ मुख्य प्रकार दिए गए हैं:
डिग्री के आधार पर प्रकार
- अचर बहुपद: एक बहुपद जिसकी डिग्री
0होती है। इसमें कोई चर नहीं होता।
उदाहरण:5 - रेखीय बहुपद: एक बहुपद जिसकी डिग्री
1होती है।
उदाहरण:3x + 2 - द्विघात बहुपद: एक बहुपद जिसकी डिग्री
2होती है।
उदाहरण:x² + 4x + 4 - घन बहुपद: एक बहुपद जिसकी डिग्री
3होती है।
उदाहरण:2x³ + x² - x + 1
पदों की संख्या के आधार पर प्रकार
- अेकपद: केवल एक पद वाला बहुपद।
उदाहरण:7x³ - द्विपद: दो पदों वाला बहुपद।
उदाहरण:3x + 2 - त्रिपद: तीन पदों वाला बहुपद।
उदाहरण:x² + 4x + 4 - बहुपद: तीन से अधिक पदों वाला बहुपद।
उदाहरण:x⁴ + 2x³ + 3x² + 4x + 5
बहुपद की दृश्यावलीकरण
बहुपद का ग्राफ़िकल प्रतिनिधित्व उनकी प्रकृति और व्यवहार को समझने में मदद कर सकता है। बहुपद ग्राफ़ के दृश्य तत्वों में शामिल हैं:
- इंटरसेप्ट: बिंदु जहाँ ग्राफ x-अक्ष (वास्तविक मूल) और y-अक्ष को छूता है।
- टर्निंग प्वाइंट्स: बिंदु जहाँ ग्राफ दिशा बदलता है, जो डिग्री 2 और उससे अधिक के बहुपद प्रकारों के लिए महत्वपूर्ण है।
- टर्मिनल व्यवहार: वह दिशा जिसमें ग्राफ़ तब बढ़ती है जब चर अनंत या ऋणात्मक अनंत की ओर जाता है।
यहाँ एक द्विघात बहुपद का ग्राफ उदाहरण है:
बहुपदों के साथ कैसे काम करें
बहुपदों को कई संचालनों का उपयोग करके जोड़ा जा सकता है। यहाँ कुछ बुनियादी संचलन और उदाहरण हैं:
बहुपदों का योग
बहुपदों को जोड़ने के लिए, समरूप पदों को जोड़कर चरों की समान शक्ति वाले गुणांकों को मिलाएं।
उदाहरण: 3x² + 2x + 1 और 4x² + 5x + 6 को जोड़ें
(3x² + 2x + 1) + (4x² + 5x + 6) = (3x² + 4x²) + (2x + 5x) + (1 + 6) = 7x² + 7x + 7बहुपदों का घटाव
बहुपदों को घटाने के लिए, घटाने वाले बहुपद के प्रत्येक पद के चिन्ह को बदलें और फिर समरूप पदों को मिलाएं।
उदाहरण: 4x² - 5x - 6 को 3x² + 2x + 1 से घटाएं
(3x² + 2x + 1) - (4x² - 5x - 6) = (3x² - 4x²) + (2x + 5x) + (1 + 6) = -x² + 7x + 7बहुपदों का गुणन
बहुपदों को गुणा करने के लिए, पहले बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करें और फिर वितरण गुणधर्म का उपयोग करके समरूप पदों को मिलाएं।
उदाहरण: (x + 2) और (x + 3) को गुणा करें
(x + 2)(x + 3) = x(x + 3) + 2(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6बहुपदों का विभाजन
बहुपद का विभाजन अधिक जटिल हो सकता है और इसमें बहुपद के प्रत्येक पद को दिए गए भाजक से विभाजित करना शामिल है। हालांकि यह प्रक्रिया लंबा विभाजन के समान हो सकती है, इसे समझने के लिए अभ्यास की आवश्यकता होती है।
उदाहरण: 2x³ + 3x² + x + 5 को x + 1 से विभाजित करें
Divide (2x³ + 3x² + x + 5) by (x + 1): x + 1 | 2x³ + 3x² + x + 5 - (2x³ + 2x²) ---------------- x² + x + 5 - (x² + x) ---------------- 5 Result: 2x² + 1 with remainder 5वास्तविक दुनिया में बहुपद
बहुपद भौतिकी, इंजीनियरिंग, वित्त और अधिक जैसे वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में भी महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। बहुपदों को समझने से स्थितियों का मॉडल बनाने और पूर्वानुमान करने में मदद मिलती है।
उदाहरण: क्षेपण के फेंके जाने के t सेकंड बाद की ऊँचाई को द्विघात बहुपद का उपयोग करके मॉडल किया जा सकता है:
h(t) = -4.9t² + vt + h₀जहाँ:
vप्रारंभिक वेग है।h₀प्रारंभिक ऊँचाई है।-4.9का मापन गुरुत्वाकर्षण के प्रभावों द्वारा समझाया गया है।
निष्कर्ष
गणितीय समस्याओं को हल करने और विभिन्न वैज्ञानिक मॉडलों को समझने में बहुपदों को समझना महत्वपूर्ण है। वे कई गणितीय संचालनों को शामिल करते हैं, और उनकी गुणधर्मों, प्रकारों और उन्हें कैसे जोड़ें-घटें, को समझना बीजगणित में एक मौलिक कौशल है।
गहराई से समझ और बहुपदों पर काम करने में आत्मविश्वास के लिए विभिन्न उदाहरणों के साथ अभ्यास करना जारी रखें।
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