10º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propriedades dos Números Reais  1.1.2. Números racionais e irracionais  1.1.3. Representação decimal de números reais  1.1.4. Operações com números reais  1.1.5. Números reais na reta numérica  1.2. O lema da divisão de Euclides  1.3. Fatoração de números primos  1.4. Compreendendo o MMC e o MDC em sistemas numéricos  1.5. Expoentes e Radicais  1.5.1. Leis dos expoentes  1.5.2. Simplificação de expressões básicas  1.5.3. Notação científica
  2. Compreendendo Algebra  2.1. Polinômios  2.1.1. Definição e tipos de polinômios  2.1.2. Grau de um polinômio  2.1.3. Zeros de um polinômio  2.1.4. Fatoração de polinômios  2.1.5. Identidades algébricas  2.2. Equações lineares em duas variáveis  2.2.1. Gráficos de equações lineares  2.2.2. Soluções de equações lineares  2.2.3. Aplicação de equações lineares em problemas de palavras  2.3. Entendendo Equações Quadráticas  2.3.1. Forma padrão de equação quadrática  2.3.2. Métodos para resolver equações quadráticas  2.3.2.1. Método de fatoração  2.3.2.2. Método de completar o quadrado  2.3.2.3. Fórmula quadrática  2.3.3. Compreendendo a natureza das raízes em equações quadráticas  2.4. Entendendo progressões aritméticas  2.4.1. Definição de progressão aritmética  2.4.2. Termo geral da Progressão Aritmética (PA)  2.4.3. A soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética  2.5. Introdução às funções  2.5.1. Definição e tipos de funções  2.5.2. Domínio e imagem  2.5.3. Estrutura dos trabalhos  2.5.4. Inverso de uma função
  3. Geometria coordenada  3.1. Introdução ao sistema cartesiano em geometria coordenada  3.2. Fórmula da distância  3.3. Fórmula da seção  3.4. Área de um triângulo  3.5. Inclinação da linha  3.6. Equação de uma linha em geometria coordenada  3.6.1. Forma de inclinação-interceptação  3.6.2. Introdução à forma ponto-inclinação  3.6.3. Forma de dois pontos  3.6.4. Forma de interceptação  3.6.5. Forma geral da linha
  4. Trigonometria  4.1. Razões trigonométricas  4.1.1. Sen, cosseno, tangente e seus inversos  4.1.2. Compreendendo os valores das razões trigonométricas em ângulos específicos  4.2. Identidades Trigonométricas  4.3. Relações trigonométricas de ângulos complementares  4.4. Alturas e distâncias  4.4.1. Compreendendo ângulos de elevação e depressão  4.4.2. Aplicações em problemas da vida real
  5. Geometria  5.1. Triângulo  5.1.1. Congruência de triângulos  5.1.2. Critérios de conformidade  5.1.3. Propriedades dos triângulos  5.2. Compreendendo similaridade na geometria  5.2.1. Compreendendo formas semelhantes na geometria  5.2.2. Critérios de semelhança  5.2.3. Similaridade de triângulos  5.2.4. Aplicações do paralelismo na vida real  5.3. Compreendendo círculos na geometria  5.3.1. Propriedades do círculo  5.3.2. Tangente a um círculo  5.3.3. Número de tangentes a partir de um ponto  5.3.4. Ângulo subtendido pelo arco  5.4. Construções em geometria  5.4.1. Construção de triângulos semelhantes  5.4.2. Tangente a um círculo  5.4.3. Construção de uma bissetriz de ângulo
  6. Mensuração  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de um Triângulo  6.1.2. Compreendendo a área de um paralelogramo  6.1.3. Área do trapézio  6.1.4. Compreendendo a área de um losango  6.2. Área de superfície e volume  6.2.1. Área de superfície de cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.2. Área de superfície do cone e esfera  6.2.3. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.4. Volume de cone e esfera  6.3. Conversão de unidades  6.4. Tronco de cone
  7. Figuras  7.1. Introdução à estatística  7.2. Coleta de dados  7.3. Apresentação de dados  7.3.1. Forma Tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: Uma ferramenta para representação gráfica em estatística  7.3.2.3. Polígono de frequência  7.3.2.4. Ogiva  7.4. Medidas de tendência central  7.4.1. Média, mediana e moda  7.4.2. Compreendendo Quartis e Percentis  7.5. Medidas de dispersão  7.5.1. Alcance e intervalo interquartil  7.5.2. Desvio Padrão e Variância
  8. Possibilidade  8.1. Introdução à Probabilidade  8.2. Probabilidade experimental  8.3. Probabilidade teórica  8.4. Probabilidade de eventos simples  8.5. Programas Complementares  8.6. Probabilidade de eventos mistos

10º ano ↓


Sistemas numéricos


Na matemática, especialmente na matemática da Classe 10, é muito importante entender o conceito de sistema numérico. Os sistemas numéricos formam a base sobre a qual conceitos matemáticos mais complexos são construídos. Os números fazem parte integrante das nossas vidas diárias, quer percebamos ou não. Eles nos ajudam a contar, medir, codificar dados, resolver equações algébricas e muito mais. Esta lição irá informá-lo sobre os diferentes tipos de sistemas numéricos, suas características, exemplos, representações visuais e aplicações em termos simples.

O que é o sistema numérico?

Um sistema numérico é essencialmente um sistema de escrita para expressar números. É uma notação matemática que representa um conjunto dado de números de forma consistente usando dígitos ou símbolos. Existem diferentes tipos de sistemas numéricos, e eles diferem com base no conjunto de dígitos usados, na base do sistema e nas regras das operações aritméticas dentro do sistema.

Os sistemas numéricos mais comumente utilizados são:

  • Números naturais
  • Números inteiros
  • Números inteiros
  • Números racionais
  • Números irracionais
  • Número real
  • Números imaginários
  • Números complexos

Números naturais

Números naturais são os números que usamos para contar, como 1, 2, 3, etc. Estes também são chamados de números de contagem. Eles começam a partir de 1 e vão até o infinito.

Números naturais: 1, 2, 3, 4, 5, ...

Propriedades dos números naturais:

  • Adição: Se você adicionar dois números naturais, o resultado será um número natural. Por exemplo, 2 + 3 = 5.
  • Multiplicação: Se você multiplicar dois números naturais, o resultado será um número natural. Exemplo: 2 × 3 = 6.
  • Não existe um número natural que, quando multiplicado por outro número natural, dê zero.

Números inteiros

Números inteiros incluem todos os números naturais e zero. Assim, começa com zero e inclui todos os números naturais.

Números inteiros: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

A principal diferença entre os números naturais e inteiros é a inclusão do zero no conjunto de números inteiros.

Propriedades dos números inteiros:

  • Propriedade de Fecho: Números inteiros são fechados sob adição e multiplicação. Por exemplo, 0 + 3 = 3 e 2 × 4 = 8.
  • Identidade: Para adição, 0 é a identidade aditiva porque 0 + a = a para qualquer número inteiro a. Para multiplicação, 1 é a identidade multiplicativa porque 1 × a = a.

Números inteiros

O conjunto dos números inteiros inclui todos os números inteiros e seus equivalentes negativos. Inclui zero, números positivos e negativos.

Números inteiros: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

Propriedades dos números inteiros:

  • Propriedade de Fecho: Números inteiros são fechados sob adição, subtração e multiplicação. Por exemplo, -2 + 3 = 1 e -4 × 5 = -20.
  • Propriedade Comutativa: Para adição e multiplicação, os números inteiros são comutativos: a + b = b + a e a × b = b × a.
  • Propriedade Associativa: Assim como para adição e multiplicação, os números inteiros são associativos: (a + b) + c = a + (b + c) e (a × b) × c = a × (b × c).
  • Propriedade Distributiva: a × (b + c) = a × b + a × c

Números racionais

Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como a razão ou fração p/q de dois inteiros, onde q não é zero.

Exemplos de números racionais incluem: 1/2, -3/4, 5, -2 (porque 5 = 5/1 e -2 = -2/1).

0 1/2 1

Propriedades dos números racionais:

  • Propriedade de Fecho: Números racionais são fechados sob adição, subtração, multiplicação e divisão (exceto divisão por zero).
  • Representação Decimal: Números racionais podem ser interrompidos ou repetidos em sua forma decimal. Por exemplo, 1/4 = 0,25 (terminando) e 1/3 = 0.333... (repetindo) são ambos números racionais.

Números irracionais

Números irracionais são números que não podem ser expressos como frações simples, ou seja, sua expansão decimal não termina ou repete. Exemplos incluem √2, π e e.

√2 π

Os números irracionais não podem ser expressos como frações p/q com valores inteiros p e q. Sua expansão decimal continua para sempre sem repetir.

Exemplos e propriedades:

  • A raiz quadrada de qualquer número primo é irracional (por exemplo, √3).
  • A constante π, que representa a razão da circunferência de um círculo para seu diâmetro, é irracional e é aproximadamente igual a 3.14159...
  • O número e (número de Euler), que é aproximadamente igual a 2.71828..., também é irracional.

Número real

Os números reais incluem todos os números racionais e irracionais. Isso significa que eles cobrem todos os valores possíveis na linha numérica. Cada ponto na linha numérica corresponde a um número real.

Exemplos de números reais incluem -2, 0, 1/3, π, √5, 7.9 e -3/2.

Números reais: -2, 0, 1/3, π, √5, 7.9, ...

Números imaginários

Números imaginários são números que dão um resultado negativo quando quadrados. A unidade imaginária é representada por i, onde i é igual à raiz quadrada de -1.

i² = -1

Um exemplo de número imaginário é 4i, 0.5i.

Números complexos

Números complexos são números que têm uma parte real e uma parte imaginária. Eles são expressos na forma a + bi onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária.

Um exemplo de número complexo é 3 + 4i.

a + bi

Conclusão

Os sistemas numéricos são um componente essencial da matemática, formando o alicerce de muitos conceitos e operações. É importante que os alunos entendam os diferentes tipos de sistemas numéricos, pois isso ajuda a processar vários problemas matemáticos e cálculos do mundo real.

Desde cálculos antigos até a tecnologia digital contemporânea, os números mostraram sua importância e versatilidade. Portanto, é essencial estudá-los e compreendê-los completamente para entender conceitos aritméticos e algébricos mais avançados.

Na educação escolar, como a Matemática da Classe 10, uma compreensão clara dos sistemas numéricos não apenas ajudará nos exames, mas também lançará uma base sólida para estudos futuros em matemática e ciências. Números são a linguagem com a qual o universo é escrito, e esses sistemas nos ajudam a interpretá-lo e entendê-lo.


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