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मूल अभिव्यक्तियों का सरलीकरण
गणित एक व्यापक विषय है जो जीवन के विभिन्न क्षेत्रों को स्पर्श करता है। गणित में सबसे रोचक विषयों में से एक घातांक और मूलों का अध्ययन है। जब आप कक्षा 10 में होते हैं, तो आप इन अवधारणाओं का अधिक गहराई से अनुसंधान करना शुरू करते हैं, विशेष रूप से ध्यान देते हुए मूल अभिव्यक्तियों को सरल बनाने पर। यह ज्ञान मौलिक है और जटिल गणितीय समस्याओं को हल करने में मदद करता है।
आइये हम मूलों की सरल दुनिया में डुबकी लगाएं और उन्हें सरल बनाने की प्रक्रिया को समझें।
मूलों को समझना
सरल करना शुरू करने से पहले, आइए समझते हैं कि मूल क्या है। मूल प्रतीक √ संख्या की जड़ का प्रतिनिधित्व करता है। सबसे आम मूल वर्गमूल है, लेकिन घनमूल, चौथामूल, आदि भी हैं।
मूल अभिव्यक्ति का सामान्य रूप होता है:
√n (a)जहां:
nमूल का सूचकांक है।aमूलधन है, जो मूल प्रतीक के अंदर की संख्या होती है।
उदाहरण के लिए, √2 (9) या सरल रूप में √9 संख्या 9 का वर्गमूल है।
मूल अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के नियम
मूल अभिव्यक्ति को सरल करना एक मूल या वैकल्पिक रूप में पुनर्लेखित करने की आवश्यकता होती है। इसे प्राप्त करने के लिए यहां चरण और नियम दिए गए हैं:
1. पूर्ण वर्ग की पहचान करें
मूल को सरल बनाने का सबसे आसान तरीका एक पूर्ण वर्ग की खोज करना है। एक पूर्ण वर्ग एक संख्या है जिसे किसी पूर्णांक के वर्ग के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 1, 4, 9, 16, 25, आदि।
विचार करें √36. क्योंकि 36 = 6², √36 सीधे 6 तक सरल होता है।
2. अपूर्ण वर्गों को तोड़ें
यदि किसी संख्या के नीचे एक वर्गमूल नहीं है, तो पूर्ण वर्गों के कारक खोजें। उदाहरण के लिए, संख्या 18 एक पूर्ण वर्ग नहीं है, लेकिन इसे निम्नलिखित रूप में तोड़ा जा सकता है:
18 = 9 × 2क्योंकि 9 एक पूर्ण वर्ग (3²) है, आप √18 को इस तरह सरल कर सकते हैं:
√18 = √(9 × 2) = √9 × √2 = 3√23. मूलों के लिए भागफल नियम का उपयोग करें
मूल के नीचे के भागफल को सरल करते समय, भागफल नियम का उपयोग करें, जो यह साबित करता है कि:
√(a/b) = √a / √bविचार करें √(36/4) को सरल करना:
√(36/4) = √36 / √4 = 6 / 2 = 34. हर का विवेकीकरण करें
यह सरलता का एक महत्वपूर्ण पहलू है, जहां हर में कोई भी मूल हटाना आवश्यक होता है। इसे प्राप्त करने के लिए हम हर और अंश को एक ऐसे मूल से गुणा करते हैं, जो एक पूर्ण वर्ग या घन देगा।
मान लीजिए हमारे पास 1/√2 है। विवेकीकरण के लिए:
1/√2 = (1/√2) × (√2/√2) = √2/2मूल अभिव्यक्तियों के सरल करने के उदाहरण
उदाहरण 1: √48 को सरल करें
पहले, 48 के सबसे बड़े पूर्ण वर्ग के गुणक की पहचान करें। हम देखते हैं कि 16 सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग है:
48 = 16 × 3इस प्रकार, हम √48 को इस प्रकार सरल कर सकते हैं:
√48 = √(16 × 3) = √16 × √3 = 4√3उदाहरण 2: √(32/2) को सरल करें
मूल के भीतर की अभिव्यक्ति को सरल करके शुरू करें:
√(32/2) = √16 = 4उदाहरण 3: 5/√3 को सरल करें
हर को विवेकी बनाने के लिए अंश और हर दोनों को √3 से गुणा करें:
5/√3 = (5/√3) × (√3/√3) = 5√3/3उन्नत अवधारणाएँ
उच्च सूचकांक मूल को समझना
वर्गमूल के अलावा, हमें घनमूल और चौथामूल भी मिलते हैं। सरलता की विधि समान होती है, लेकिन पूर्ण घनों या उच्च शक्तियों की पहचान करने के लिए अतिरिक्त कदम होते हैं।
विचार करें √3 (8) (8 का घनमूल)। हमें पता है,
8 = 2³तो, √3 (8) सरल होता है 2।
संख्या 1 का संयोजन
जैसे कि आप बीजीय में जैसे सामान पदों का संयोजन करते हैं, आप सामान मूलों को जोड़ या घटा सकते हैं। ये वे मूल होते हैं जिनका सूचकांक और मूलधन समान होता है।
उदाहरण के लिए, 2√7 + 3√7 - √7 का संयोजन करें:
2√7 + 3√7 - √7 = (2 + 3 - 1)√7 = 4√7अभ्यास समस्याएँ
इन मूल अभिव्यक्तियों को सरल करने का प्रयास करें:
√75को सरल करें।√(50/2)को सरल करें।7/√5का विवेकीकरण करें।4√11 + 5√11 - 2√11का संयोजन करें।
याद रखें, मूल अभिव्यक्तियों को सरल बनाने में महारत हासिल करने की कुंजी संख्याओं के गुणधर्मों को समझने और तकनीकों का चरण दर चरण अभ्यास करने में है।
निष्कर्ष
मूल अभिव्यक्तियों का सरलीकरण बीजीय में एक मौलिक कौशल है जो अधिक जटिल गणितीय अवधारणाओं के लिए एक मजबूत आधार प्रदान करता है। इन प्रकार की अभिव्यक्तियों को हेरफेर करने की क्षमता को समझना गणितज्ञों के लिए और गणितीय मॉडल के साथ काम कर रहे किसी के लिए महत्वपूर्ण है। यहां चर्चा की गई चरणों का अनुसरण करके और नियमित रूप से अभ्यास करके, आप किसी भी मूल अभिव्यक्ति को सक्षमता से संभालने में प्रवीण बन जाएंगे।
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