संख्या प्रणाली में लघुत्तम समापवर्तक (LCM) और महत्तम समापवर्तक (HCF) की समझ
गणित में संख्याओं के बारे में सीखते समय, विशेष रूप से भाज्यता और गुणांक के संदर्भ में, दो आवश्यक अवधारणाएँ होती हैं: लघुत्तम समापवर्तक (LCM) और महत्तम समापवर्तक (HCF), जिसे महत्तम समान भाजक (GCD) भी कहा जाता है। ये दो विचार कई गणितीय समस्याओं को हल करने में मूलभूत होते हैं, जिनमें भिन्न, अनुपात, और बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ शामिल हैं।
LCM क्या है?
दो या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक वह सबसे छोटी संख्या होती है जो दी गई सभी संख्याओं में से प्रत्येक की गुणक होती है। LCM को बेहतर समझने के लिए, 'गुणक' के बारे में पहले सोचना सहायक होता है। एक संख्या का गुणक वह होता है जो आप उस संख्या को एक पूर्णांक से गुणा करके प्राप्त करते हैं। उदाहरण के लिए, 3 के गुणांक 3, 6, 9, 12, 15, ... हैं।
LCM निकालना: चरण-दर-चरण मार्गदर्शिका
आइए 4 और 5 संख्याओं के साथ एक सरल उदाहरण का उपयोग करके LCM निकालें।
चरण 1: गुणकों की सूची बनाएं
संख्या 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ... संख्या 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...
ध्यान दें कि संख्या 20 दोनों सूचियों में दिखाई देती है। यह दोनों गुणकों की सूचियों में पहला (या सबसे छोटा) सामान्य संख्या है, जो इसे LCM बनाता है।
चरण 2: प्रमुख गुणनखंड उपयोग करें
LCM निकालने का एक और तरीका प्रमुख गुणनखंड है:
- प्रत्येक संख्या के प्रमुख गुणनखंड खोजें।
- प्रत्येक गुणनखंड को अधिकतम बार गुणा करें जब तक वह किसी भी संख्या में प्रकट होता है।
4 = 2 * 2 = 2²
5 = 5 = 5¹
LCM = 2² * 5¹ = 4 * 5 = 20
HCF क्या है?
दो या अधिक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक वह सबसे बड़ी संख्या होती है जो प्रत्येक संख्या को बिना शेष के विभाजित करती है। हमें उन संख्याओं को साझा करने वाले सबसे बड़े संख्या के गुणक में रुचि है।
HCF निकालना: चरण-दर-चरण मार्गदर्शिका
आइए 18 और 24 का HCF निकालें।
चरण 1: गुणकों की सूची बनाएं
संख्या 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18 संख्या 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
उन सूचियों में दिखाई देने वाली सबसे बड़ी संख्या को देखें। यहां, संख्या 6 दोनों सूचियों में दिखाई देती है और सबसे बड़ी है, इसलिए HCF 6 है।
चरण 2: प्रमुख गुणनखंड उपयोग करें
LCM की तरह, HCF भी प्रमुख गुणनखंड का उपयोग करके निकाला जा सकता है:
- प्रत्येक संख्या के प्रमुख गुणनखंड खोजें।
- सभी संख्याओं में दिखाई देने वाले सामान्य गुणनखंडों को गुणा करें।
18 = 2 * 3²
24 = 2³ * 3
न्यूनतम घातांक सामान्य गुणनखंड: 2¹ * 3¹ = 6
दृश्य उदाहरण: एक साथ LCM और HCF
LCM और HCF के अनुप्रयोग
संख्याओं के LCM और HCF को खोजने की समझ और क्षमता विभिन्न गणित और इसके अनुप्रयोगों में अत्यंत उपयोगी हो सकती है:
- भिन्न घटक: भिन्नता के सवालों में, HCF का उपयोग भिन्नों को उनके निम्नतम रूप में सरलीकृत करने के लिए किया जाता है।
- भिन्नों का जोड़: भिन्नों को जोड़ते या घटाते समय, हरों के LCM को खोजने में मदद करता है।
- समस्या समाधान: आवर्ती आयोजनों से संबंधित शब्द समस्याओं को हल करने में LCM मदद करता है।
- वित्तीय गणना: यह उन समस्याओं में उपयोग किया जाता है जो समय अंतराल, प्रतिशत या इसी वित्तीय गणना के संबंध में होती हैं।
उदाहरण समस्याएं
उदाहरण समस्या 1: 12 और 15 का LCM
प्रमुख गुणनखंड का उपयोग:
12 = 2² * 3 15 = 3 * 5 LCM = 2² * 3 * 5 = 60
इसलिए, 12 और 15 का LCM 60 है।
उदाहरण समस्या 2: 8 और 12 का HCF
प्रमुख गुणनखंड का उपयोग:
8 = 2³ 12 = 2² * 3 HCF = 2² = 4
इसलिए, 8 और 12 का HCF 4 है।
निष्कर्ष
यह महत्वपूर्ण है कि छात्र LCM और HCF दोनों की गणना करने की समझ रखते हों और इसे संसाधित कर सकें। ये अवधारणाएँ गणितीय पाठ्यक्रम का एक अभिन्न हिस्सा हैं और उपकरण हैं जो इसे समझना और लागू करना आसान बनाते हैं। इन क्रियाओं के परिचित होकर, छात्र अपनी समस्या समाधान कौशल और गणितीय तर्कशक्ति को बढ़ा सकते हैं।
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