Класс 10
  1. Системы чисел  1.1. Действительные числа  1.1.1. Свойства вещественных чисел  1.1.2. Рациональные и иррациональные числа  1.1.3. Десятичное представление вещественных чисел  1.1.4. Операции с действительными числами  1.1.5. Действительные числа на числовой прямой  1.2. Лемма Евклида о делении  1.3. Разложение на простые множители  1.4. Понимание НОК и НОД в числовых системах  1.5. Показатели степени и корни  1.5.1. Законы степеней  1.5.2. Упрощение базовых выражений  1.5.3. Научная нотация
  2. Понимание алгебры  2.1. Многочлены  2.1.1. Определение и виды многочленов  2.1.2. Степень многочлена  2.1.3. Нули многочлена  2.1.4. Факторизация многочленов  2.1.5. Алгебраические тождества  2.2. Линейные уравнения с двумя переменными  2.2.1. Графики линейных уравнений  2.2.2. Решения линейных уравнений  2.2.3. Применение линейных уравнений в текстовых задачах  2.3. Понимание квадратных уравнений  2.3.1. Стандартная форма квадратного уравнения  2.3.2. Методы решения квадратных уравнений  2.3.2.1. Метод разложения на множители  2.3.2.2. Метод завершения квадрата  2.3.2.3. Квадратная формула  2.3.3. Понимание природы корней в квадратных уравнениях  2.4. Понимание арифметических прогрессий  2.4.1. Определение арифметической прогрессии  2.4.2. Общий член арифметической прогрессии (АП)  2.4.3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии  2.5. Введение в функции  2.5.1. Определение и виды функций  2.5.2. Область определения и область значений  2.5.3. Структура работ  2.5.4. Обратная функция
  3. Координатная геометрия  3.1. Введение в декартову систему в координатной геометрии  3.2. Формула расстояния  3.3. Формула отрезка  3.4. Площадь треугольника  3.5. Наклон линии  3.6. Уравнение прямой в координатной геометрии  3.6.1. Форма уравнения прямой с угловым коэффициентом  3.6.2. Введение в уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту  3.6.3. Форма с двумя точками  3.6.4. Перехватная форма  3.6.5. Общая форма линии
  4. Тригонометрия  4.1. Тригонометрические отношения  4.1.1. Синус, косинус, тангенс и их обратные функции  4.1.2. Понимание значений тригонометрических отношений при определенных углах  4.2. Тригонометрические тождества  4.3. Тригонометрические отношения дополнительного угла  4.4. Высоты и расстояния  4.4.1. Понимание углов возвышения и снижения  4.4.2. Применение в реальных задачах
  5. Геометрия  5.1. Треугольник  5.1.1. Соответствие треугольников  5.1.2. Критерии соответствия  5.1.3. Свойства треугольников  5.2. Понимание подобия в геометрии  5.2.1. Понимание подобных фигур в геометрии  5.2.2. Критерии подобия  5.2.3. Сходство треугольников  5.2.4. Применение параллелизма в реальной жизни  5.3. Понимание окружностей в геометрии  5.3.1. Свойства окружности  5.3.2. Касательная к окружности  5.3.3. Количество касательных из точки  5.3.4. Угол, подстилаемый дугой  5.4. Построения в геометрии  5.4.1. Построение подобных треугольников  5.4.2. Касательная к окружности  5.4.3. Построение биссектрисы угла
  6. Измерение  6.1. Площадь плоских фигур  6.1.1. Площадь треугольника  6.1.2. Понимание площади параллелограмма  6.1.3. Площадь трапеции  6.1.4. Понимание площади ромба  6.2. Площадь поверхности и объем  6.2.1. Площадь поверхности куба, параллелепипеда и цилиндра  6.2.2. Площадь поверхности конуса и сферы  6.2.3. Объем куба, параллелепипеда и цилиндра  6.2.4. Объем конуса и сферы  6.3. Преобразование единиц  6.4. Усеченный конус
  7. Фигуры  7.1. Введение в статистику  7.2. Сбор данных  7.3. Представление данных  7.3.1. Табличная форма  7.3.2. Графическая форма  7.3.2.1. Столбчатая диаграмма  7.3.2.2. Гистограмма: инструмент для графического представления в статистике  7.3.2.3. Полигон частот  7.3.2.4. Огива  7.4. Меры центральной тенденции  7.4.1. Среднее, медиана и мода  7.4.2. Понимание квартилей и процентилей  7.5. Меры изменения  7.5.1. Диапазон и межквартильный размах  7.5.2. Стандартное отклонение и дисперсия
  8. Возможность  8.1. Введение в теорию вероятностей  8.2. Экспериментальная вероятность  8.3. Теоретическая вероятность  8.4. Вероятность простых событий  8.5. Дополнительные программы  8.6. Вероятность смешанных событий

Класс 10 → Системы чисел ↓


Разложение на простые множители


Разложение на простые множители — это процесс представления числа в виде произведения его простых множителей. Эта концепция является фундаментальной идеей в теории чисел и находит применение в различных областях, включая криптографию, математику и информатику.

Прежде чем мы дальше погрузимся в разложение на простые множители, важно понять, что такое простые числа. Простое число — натуральное число больше 1, которое не может быть образовано умножением двух меньших натуральных чисел. Другими словами, простое число имеет ровно два различных положительных делителя: 1 и само себя.

Примеры простых чисел включают 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и т. д. Обратите внимание, что эти числа не имеют делителей, кроме 1 и самих себя.

Основы разложения на простые множители

Цель разложения на простые множители — разбить составное число (число, не являющееся простым) на произведение простых чисел. Например, разложение на простые множители числа 12 можно определить путем последовательного деления его на простые числа.

Пример

Давайте сделаем разложение на простые множители для числа 12.

  • Шаг 1: 12 — четное число, поэтому мы можем начать с деления его на наименьшее простое число 2.
    12 ÷ 2 = 6
  • Шаг 2: 6 также четное число, поэтому делим его снова на 2.
    6 ÷ 2 = 3
  • Шаг 3: 3 — простое число, здесь мы останавливаемся.

Разложение на простые множители числа 12:

2 x 2 x 3

Также можем записать это с использованием степеней:

2 2 x 3 1

12 2 6 2 3

Зачем нужно разложение на простые множители?

Разложение на простые множители имеет несколько важных применений:

  • Наибольший общий делитель (НОД): Чтобы найти НОД двух чисел, мы находим факторизацию каждого числа, а затем берем наименьшую степень для каждого общего простого множителя.
  • Наименьшее общее кратное (НОК): Для нахождения НОК нужно взять наибольшую степень каждого простого множителя чисел, которые рассматриваются.
  • Теория кодирования: Разложение на простые множители играет важную роль в шифровальных системах, таких как RSA шифрование, делая его основополагающим в безопасных коммуникациях.

Как сделать разложение на простые множители

Чтобы начать с разложения на простые множители, выполните следующие действия:

  1. Начните с наименьшего простого числа, которым является 2.
  2. Проверьте, делится ли число без остатка на 2. Если да, делите его на 2.
  3. Продолжайте делить на 2, пока не останется никаких чисел.
  4. Перейдите к следующему наименьшему простому числу, которым является 3, и повторите шаги.
  5. Продолжайте этот процесс с последующими простыми числами (5, 7, 11, 13, ...) до тех пор, пока частное не станет простым числом.

Детальный пример

Давайте детально рассмотрим пошаговое разложение числа 60.

  • Шаг 1: Начнем с 2 (так как 60 четно).
    60 ÷ 2 = 30
  • Шаг 2: Делим 30 на 2 (оно все еще четно).
    30 ÷ 2 = 15
  • Шаг 3: Перейдем к следующему простому числу, которым является 3 (15 не делится нацело на 2).
    15 ÷ 3 = 5
  • Шаг 4: 5 — уже простое число. Завершаем разложение здесь.

Разложение на простые множители числа 60:

2 x 2 x 3 x 5

60 2 30 2 15 3 5

Разложение больших чисел

Разложение на множители небольших чисел просто, но что делать с большими числами? Процесс тот же, но он может требовать проверки делимости для большего количества простых чисел. Попрактикуемся с примером, включающим большее число, 126.

Пример: Разложение числа 126 на простые множители

  • Начнем с Шага 1: 2.
    126 ÷ 2 = 63
  • Шаг 2: Перейдем к 3 (63 — нечетное число).
    63 ÷ 3 = 21
  • Шаг 3: Делим 21 на 3.
    21 ÷ 3 = 7
  • Шаг 4: 7 — простое число; разложение завершено.
    7

Разложение числа 126 на простые множители:

2 x 3 x 3 x 7

Используя степени, можно записать как:

2 1 x 3 2 x 7 1

126 2 63 3 21 3 7

Применение разложения на простые множители

Понимание разложения чисел на простые множители имеет много полезных применений:

Нахождение наибольшего общего делителя (НОД)

Предположим, вы хотите найти НОД от 48 и 180. Сначала произведем разложение каждого числа на простые множители.

  • 48:
    48 ÷ 2 = 24

    24 ÷ 2 = 12

    12 ÷ 2 = 6

    6 ÷ 2 = 3

    итого, 
    48 = 2 4 x 3 1
  • 180:
    180 ÷ 2 = 90

    90 ÷ 2 = 45

    45 ÷ 3 = 15

    15 ÷ 3 = 5

    итого, 
    180 = 2 2 x 3 2 x 5 1

НОД определяется путем взятия минимальной степени для каждого общего множителя, следовательно:

НОД(48, 180) = 2 2 x 3 1 = 12

Нахождение наименьшего общего кратного (НОК)

Используя то же разложение чисел 48 и 180, НОК определяется путем взятия наибольшей степени всех простых множителей:

НОК(48, 180) = 2 4 x 3 2 x 5 1 = 720

Предостережение по разложению на простые множители

Хотя разложение на простые множители — это мощный инструмент, важно использовать его с пониманием его свойств:

  • Разложение определяется только для положительных целых чисел больше 1.
  • Разложение на простые множители уникально для каждого числа, кроме порядка множителей (это называется основная теорема арифметики).
  • Это может не всегда быть легко для больших чисел из-за вычислительных ограничений.

Дополнительные примеры

Попробуем сделать разложение на простые множители с некоторыми другими числами для ясности.

Пример 1: Разложение на простые множители числа 84

  • Шаг 1: Делим на 2.
    84 ÷ 2 = 42
  • Шаг 2: Снова делим на 2.
    42 ÷ 2 = 21
  • Шаг 3: Делим на 3.
    21 ÷ 3 = 7
  • Шаг 4: 7 — это простое число, здесь останавливаемся.

Разложение на простые множители числа 84:

2 2 x 3 1 x 7 1

Пример 2: Разложение на простые множители числа 100

  • Шаг 1: Делим на 2.
    100 ÷ 2 = 50
  • Шаг 2: Снова делим на 2.
    50 ÷ 2 = 25
  • Шаг 3: Делим на 5.
    25 ÷ 5 = 5
  • Шаг 4: 5 — это простое число, здесь останавливаемся.

Разложение на простые множители числа 100:

2 2 x 5 2

Заключение

Разложение на простые множители — это мощная методика для разбивки чисел на их самые основные компоненты — простые числа. Оно помогает не только упростить различные математические вычисления, такие как нахождение НОД и НОК, но и понять более глубокие принципы теории чисел. Оно также играет важную роль в понимании разложения на простые множители. Освоение разложения на простые множители открывает двери многим математическим возможностям и стратегиям решения задач. Практикуясь с различными числами и учитывая его практические применения, студенты и энтузиасты могут получить полное понимание этого основного математического концепта.


Класс 10 → 1.3


U
username
0%
завершено в Класс 10

← предыдущая (1.2)
Лемма Евклида о делении
следующая (1.4) →
Понимание НОК и НОД в числовых системах

комментарии 



Разложение на простые множители

https://www.buddymath.com/g10/1.3?bmal=ru