Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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Factorización Prima


La factorización prima es el proceso de expresar un número como un producto de sus factores primos. Este concepto es una idea fundamental dentro de la teoría de números y tiene aplicaciones en una variedad de campos, incluyendo la criptografía, las matemáticas y la informática.

Antes de avanzar en la factorización prima, es importante entender qué son los números primos. Un número primo es un número natural mayor que 1 que no puede formarse multiplicando dos números naturales más pequeños. En otras palabras, un número primo tiene exactamente dos divisores positivos distintos: 1 y él mismo.

Ejemplos de números primos incluyen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc. Note que estos números no tienen divisores distintos a 1 y ellos mismos.

Conceptos básicos de la factorización prima

El objetivo de la factorización prima es descomponer un número compuesto (un número que no es primo) en un producto de números primos. Por ejemplo, la factorización prima de 12 puede determinarse dividiéndolo sucesivamente por números primos.

Ejemplo

Vamos a hacer la factorización prima del número 12.

  • Paso 1: 12 es un número par, por lo que podemos comenzar dividiéndolo por el número primo más pequeño que es 2.
    12 ÷ 2 = 6
  • Paso 2: 6 también es un número par, por lo que lo dividimos por 2 nuevamente.
    6 ÷ 2 = 3
  • Paso 3: 3 es un número primo, por lo que nos detenemos aquí.

La factorización prima de 12 es:

2 x 2 x 3

También podemos escribir esto usando exponentes:

2 2 x 3 1

12 2 6 2 3

¿Por qué la factorización prima?

La factorización prima tiene varias aplicaciones importantes:

  • Máximo Común Divisor (MCD): Para encontrar el MCD de dos números, factorice cada número y luego tome el menor exponente de cada factor primo común.
  • Mínimo Común Múltiplo (MCM): Encontrar el MCM implica tomar el mayor exponente de cada factor primo de los números bajo consideración.
  • Teoría de Códigos: La factorización prima juega un papel vital en los sistemas de cifrado, como el cifrado RSA, haciéndola fundamental en las comunicaciones seguras.

Cómo realizar la factorización prima

Para comenzar con la factorización prima, sigue estos pasos:

  1. Comienza con el número primo más pequeño, que es 2.
  2. Comprueba si 2 divide al número exactamente (sin dejar un resto). Si lo hace, divide el número por 2.
  3. Continúa dividiendo por 2 hasta que no quede ningún número.
  4. Pasa al siguiente número primo más pequeño, que es 3, y repite los pasos.
  5. Continúa este proceso con números primos sucesivos (5, 7, 11, 13, ...) hasta que el cociente sea un número primo.

Ejemplo detallado

Vamos a realizar una factorización detallada paso a paso del 60.

  • Paso 1: Comienza en 2 (porque 60 es par).
    60 ÷ 2 = 30
  • Paso 2: Divide 30 por 2 (esto sigue siendo un número par).
    30 ÷ 2 = 15
  • Paso 3: Pasa al siguiente número primo, que es 3 (15 no es divisible por 2).
    15 ÷ 3 = 5
  • Paso 4: 5 ya es un número primo. Terminamos nuestra factorización aquí.

La factorización prima de 60 es:

2 x 2 x 3 x 5

60 2 30 2 15 3 5

Factorización de números grandes

Factorizar números pequeños es simple, pero ¿qué pasa con los números más grandes? El proceso es el mismo, pero puede requerir verificar la divisibilidad por más números primos. Practiquemos con un ejemplo que involucra un número mayor, 126.

Ejemplo: Factorización prima de 126

  • Comienza con el Paso 1: 2.
    126 ÷ 2 = 63
  • Paso 2: Pasa a 3 (63 es impar).
    63 ÷ 3 = 21
  • Paso 3: Divide 21 por 3.
    21 ÷ 3 = 7
  • Paso 4: 7 es un número primo; la factorización está completa.
    7

La factorización prima de 126 es:

2 x 3 x 3 x 7

Usando exponentes esto se puede escribir como:

2 1 x 3 2 x 7 1

126 2 63 3 21 3 7

Aplicaciones de la factorización prima

Comprender la factorización prima de los números tiene muchas aplicaciones beneficiosas:

Encontrar el máximo común divisor (MCD)

Supongamos que deseas encontrar el MCD de 48 y 180. Primero, realiza la factorización prima de cada número.

  • 48:
    48 ÷ 2 = 24

    24 ÷ 2 = 12

    12 ÷ 2 = 6

    6 ÷ 2 = 3

    así, 
    48 = 2 4 x 3 1
  • 180:
    180 ÷ 2 = 90

    90 ÷ 2 = 45

    45 ÷ 3 = 15

    15 ÷ 3 = 5

    así, 
    180 = 2 2 x 3 2 x 5 1

El MCD se determina tomando el menor grado de cada factor común, por lo tanto:

MCD(48, 180) = 2 2 x 3 1 = 12

Encontrar el mínimo común múltiplo (MCM)

Usando la misma factorización de 48 y 180, el MCM se obtiene tomando la mayor potencia de todos los factores primos:

MCM(48, 180) = 2 4 x 3 2 x 5 1 = 720

Factorización prima: nota de precaución

Aunque la factorización prima es una herramienta poderosa, es importante usarla con un entendimiento de sus propiedades:

  • La factorización está solo definida para números enteros positivos mayores que 1.
  • La factorización prima es única para cada número, excepto por el orden de los factores (llamado el teorema fundamental de la aritmética).
  • Esto puede no ser siempre fácil para números grandes debido a limitaciones computacionales.

Ejemplos adicionales

Vamos a intentar la factorización prima con algunos números más para obtener más claridad.

Ejemplo 1: Factorización prima de 84

  • Paso 1: Divide por 2.
    84 ÷ 2 = 42
  • Paso 2: Divide por 2 nuevamente.
    42 ÷ 2 = 21
  • Paso 3: Divide por 3.
    21 ÷ 3 = 7
  • Paso 4: 7 es un número primo, deténgase aquí.

La factorización prima de 84 es:

2 2 x 3 1 x 7 1

Ejemplo 2: Factorización prima de 100

  • Paso 1: Divide por 2.
    100 ÷ 2 = 50
  • Paso 2: Divide por 2 nuevamente.
    50 ÷ 2 = 25
  • Paso 3: Divide por 5.
    25 ÷ 5 = 5
  • Paso 4: 5 es un número primo, deténgase aquí.

La factorización prima de 100 es:

2 2 x 5 2

Conclusión

La factorización prima es una técnica poderosa para descomponer números en sus componentes más básicos: los números primos. No solo ayuda a simplificar varios cálculos matemáticos, como encontrar el MCD y el MCM, sino que también nos ayuda a comprender principios más profundos de la teoría de números. También juega un papel vital en la comprensión de la factorización prima. Dominar la factorización prima abre la puerta a muchas posibilidades matemáticas y estrategias de resolución de problemas. Practicando con una variedad de números y considerando sus aplicaciones prácticas, los estudiantes y entusiastas pueden obtener una comprensión completa de este concepto matemático esencial.


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