10º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propriedades dos Números Reais  1.1.2. Números racionais e irracionais  1.1.3. Representação decimal de números reais  1.1.4. Operações com números reais  1.1.5. Números reais na reta numérica  1.2. O lema da divisão de Euclides  1.3. Fatoração de números primos  1.4. Compreendendo o MMC e o MDC em sistemas numéricos  1.5. Expoentes e Radicais  1.5.1. Leis dos expoentes  1.5.2. Simplificação de expressões básicas  1.5.3. Notação científica
  2. Compreendendo Algebra  2.1. Polinômios  2.1.1. Definição e tipos de polinômios  2.1.2. Grau de um polinômio  2.1.3. Zeros de um polinômio  2.1.4. Fatoração de polinômios  2.1.5. Identidades algébricas  2.2. Equações lineares em duas variáveis  2.2.1. Gráficos de equações lineares  2.2.2. Soluções de equações lineares  2.2.3. Aplicação de equações lineares em problemas de palavras  2.3. Entendendo Equações Quadráticas  2.3.1. Forma padrão de equação quadrática  2.3.2. Métodos para resolver equações quadráticas  2.3.2.1. Método de fatoração  2.3.2.2. Método de completar o quadrado  2.3.2.3. Fórmula quadrática  2.3.3. Compreendendo a natureza das raízes em equações quadráticas  2.4. Entendendo progressões aritméticas  2.4.1. Definição de progressão aritmética  2.4.2. Termo geral da Progressão Aritmética (PA)  2.4.3. A soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética  2.5. Introdução às funções  2.5.1. Definição e tipos de funções  2.5.2. Domínio e imagem  2.5.3. Estrutura dos trabalhos  2.5.4. Inverso de uma função
  3. Geometria coordenada  3.1. Introdução ao sistema cartesiano em geometria coordenada  3.2. Fórmula da distância  3.3. Fórmula da seção  3.4. Área de um triângulo  3.5. Inclinação da linha  3.6. Equação de uma linha em geometria coordenada  3.6.1. Forma de inclinação-interceptação  3.6.2. Introdução à forma ponto-inclinação  3.6.3. Forma de dois pontos  3.6.4. Forma de interceptação  3.6.5. Forma geral da linha
  4. Trigonometria  4.1. Razões trigonométricas  4.1.1. Sen, cosseno, tangente e seus inversos  4.1.2. Compreendendo os valores das razões trigonométricas em ângulos específicos  4.2. Identidades Trigonométricas  4.3. Relações trigonométricas de ângulos complementares  4.4. Alturas e distâncias  4.4.1. Compreendendo ângulos de elevação e depressão  4.4.2. Aplicações em problemas da vida real
  5. Geometria  5.1. Triângulo  5.1.1. Congruência de triângulos  5.1.2. Critérios de conformidade  5.1.3. Propriedades dos triângulos  5.2. Compreendendo similaridade na geometria  5.2.1. Compreendendo formas semelhantes na geometria  5.2.2. Critérios de semelhança  5.2.3. Similaridade de triângulos  5.2.4. Aplicações do paralelismo na vida real  5.3. Compreendendo círculos na geometria  5.3.1. Propriedades do círculo  5.3.2. Tangente a um círculo  5.3.3. Número de tangentes a partir de um ponto  5.3.4. Ângulo subtendido pelo arco  5.4. Construções em geometria  5.4.1. Construção de triângulos semelhantes  5.4.2. Tangente a um círculo  5.4.3. Construção de uma bissetriz de ângulo
  6. Mensuração  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de um Triângulo  6.1.2. Compreendendo a área de um paralelogramo  6.1.3. Área do trapézio  6.1.4. Compreendendo a área de um losango  6.2. Área de superfície e volume  6.2.1. Área de superfície de cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.2. Área de superfície do cone e esfera  6.2.3. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.4. Volume de cone e esfera  6.3. Conversão de unidades  6.4. Tronco de cone
  7. Figuras  7.1. Introdução à estatística  7.2. Coleta de dados  7.3. Apresentação de dados  7.3.1. Forma Tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: Uma ferramenta para representação gráfica em estatística  7.3.2.3. Polígono de frequência  7.3.2.4. Ogiva  7.4. Medidas de tendência central  7.4.1. Média, mediana e moda  7.4.2. Compreendendo Quartis e Percentis  7.5. Medidas de dispersão  7.5.1. Alcance e intervalo interquartil  7.5.2. Desvio Padrão e Variância
  8. Possibilidade  8.1. Introdução à Probabilidade  8.2. Probabilidade experimental  8.3. Probabilidade teórica  8.4. Probabilidade de eventos simples  8.5. Programas Complementares  8.6. Probabilidade de eventos mistos

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O lema da divisão de Euclides


O lema da divisão de Euclides é um conceito fundamental na teoria dos números e forma a base de muitos outros cálculos matemáticos. É uma maneira simples de expressar o processo de divisão, que divide algo em partes. O conceito recebe o nome do matemático grego Euclides, que o introduziu em seu livro "Elementos". Embora a ideia tenha sido formulada há mais de 2000 anos, ela ainda é usada na matemática hoje. Vamos entender esse conceito a fundo através de várias explicações e exemplos.

Entendendo o lema

O lema da divisão de Euclides afirma que para quaisquer dois inteiros positivos, a e b, existem inteiros únicos q e r tais que:

a = bq + r

Aqui:

  • a é o dividendo.
  • b é o divisor.
  • q é o quociente.
  • r é o resto.

O resto, r, deve satisfazer a seguinte condição:

0 ≤ r < b

Importância do lema

O lema da divisão de Euclides é essencial porque formaliza o processo de divisão, que é a base para outros conceitos como o algoritmo euclidiano para encontrar o maior divisor comum (MDC). Usando o lema, também podemos escrever provas da existência e unicidade do quociente e do resto em uma divisão, confirmando que a divisão foi realizada corretamente.

Exemplo visual

Vamos tentar olhar a divisão de dois inteiros usando este lema. Considere dividir 13 por 4:

13 (Dividendo) 4 r = 1 q = 3

Nesta visão, a caixa verde representa o divisor 4 que é repetido 3 vezes dentro do dividendo 13 (porque q = 3). O 1 é não encaixado, indicando o resto r = 1.

Exemplo passo a passo

Considere dividir 27 por 5 usando o lema da divisão de Euclides. Começamos determinando quantas vezes 5 cabe em 27 sem excedê-lo, o que nos dará o quociente.

  1. 27 ÷ 5 = 5 vezes, algum número permanece (resto).
  2. Quando 5 é multiplicado por 5, obtemos 5 × 5 = 25.
  3. Subtraindo 25 de 27 dá o resto: r = 27 - 25 = 2.

Usando o lema da divisão de Euclides, escrevemos:

27 = 5 × 5 + 2

Aqui, o quociente é q = 5 e o resto é r = 2, que satisfaz 0 ≤ r < 5.

Por que o resto é importante?

O resto fornece informações essenciais. Ajuda a entender quanto resta após a divisão e é importante para aplicações como encontrar o maior divisor comum (MDC) de dois números usando o algoritmo euclidiano. Se o resto for zero, isso indica que um número é um múltiplo perfeito do outro número.

Outro exemplo: divisão por zero e unidade

Vamos explorar outros casos usando o lema da divisão. Considere dividir um número por 1 e por ele mesmo:

  • Dividindo por 1: Escolha a = 15 e b = 1. 
    15 = 1 × 15 + 0
    Aqui o quociente é 15 e o resto é 0.
  • Dividindo um número por ele mesmo: Escolha a = 9 e b = 9. 
    9 = 9 × 1 + 0
    O quociente é 1 e o resto é 0.

Usando o lema para encontrar o MDC

O algoritmo euclidiano, que encontra o maior divisor comum (MDC) de dois números, é baseado no lema da divisão de Euclides. Abaixo está o procedimento do algoritmo usando o lema:

Processo passo a passo para encontrar o MDC

Considere dois números a e b:

  1. Continue usando o lema da divisão até r = 0.
  2. Altere a posição dos números a cada vez. a torna-se b, e b torna-se r.
  3. Quando r se torna zero, então o número que vem no lugar de b é o MDC.

Vamos ilustrar isso com um exemplo de encontrar o MDC de 56 e 98:

  1. a = 98, b = 56
  2. Divida 98 por 56: 98 = 56 × 1 + 42
  3. Substituir: a = 56, b = 42
  4. Divida 56 por 42: 56 = 42 × 1 + 14
  5. Substituir: a = 42, b = 14
  6. Divida 42 por 14: 42 = 14 × 3 + 0

Agora o resto é 0, e o MDC é 14.

Conclusão

O lema da divisão de Euclides é uma ferramenta simples, mas poderosa na matemática. Ele estabelece as bases para entender o processo de divisão e leva a métodos gerais para resolver problemas matemáticos, como encontrar o MDC. Sua simplicidade o torna acessível, enquanto sua utilidade em cálculos o torna fundamental na área.


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O lema da divisão de Euclides

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