Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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El lema de la división de Euclides


El lema de la división de Euclides es un concepto fundamental en la teoría de números y forma la base de muchos otros cálculos matemáticos. Es una forma sencilla de expresar el proceso de división, que divide algo en partes. El concepto lleva el nombre del matemático griego Euclides, quien lo introdujo en su libro "Elementos". Aunque la idea fue formulada hace más de 2000 años, todavía se utiliza en matemáticas hoy en día. Comprendamos este concepto a fondo mediante varias explicaciones y ejemplos.

Comprendiendo el lema

El lema de la división de Euclides establece que para dos números enteros positivos dados, a y b, existen números enteros únicos q y r tales que:

a = bq + r

Aquí:

  • a es el dividendo.
  • b es el divisor.
  • q es el cociente.
  • r es el residuo.

El residuo, r, debe satisfacer la siguiente condición:

0 ≤ r < b

Importancia del lema

El lema de la división de Euclides es esencial porque formaliza el proceso de división, que es la base para conceptos posteriores, como el algoritmo euclidiano para encontrar el máximo común divisor (MCD). Utilizando el lema, también podemos redactar pruebas de la existencia y unicidad del cociente y el residuo en una división, confirmando que la división se ha realizado correctamente.

Ejemplo visual

Intentemos ver la división de dos números enteros usando este lema. Consideremos la división de 13 entre 4:

13 (Dividendo) 4 r = 1 q = 3

En esta vista, el cuadro verde representa el divisor 4, que se repite 3 veces dentro del dividendo 13 (porque q = 3). El 1 está sin encuadrar, indicando el residuo r = 1.

Ejemplo paso a paso

Consideremos la división de 27 entre 5 usando el lema de la división de Euclides. Comenzamos determinando cuántas veces el 5 cabe en el 27 sin excederlo, lo que nos dará el cociente.

  1. 27 ÷ 5 = 5 veces, queda un número (residuo).
  2. Cuando 5 se multiplica por 5, obtenemos 5 × 5 = 25.
  3. Al restar 25 del 27, obtenemos el residuo: r = 27 - 25 = 2.

Usando el lema de la división de Euclides, escribimos:

27 = 5 × 5 + 2

Aquí, el cociente es q = 5 y el residuo es r = 2, lo que satisface 0 ≤ r < 5.

¿Por qué es importante el residuo?

El residuo proporciona información esencial. Ayuda a entender cuánto queda después de la división y es importante para aplicaciones como encontrar el máximo común divisor (MCD) de dos números usando el algoritmo euclidiano. Si el residuo es cero, indica que un número es un múltiplo perfecto del otro número.

Otro ejemplo: división por cero y por una unidad

Exploremos otros casos usando el lema de la división. Consideremos la división de un número entre 1 y entre sí mismo:

  • Dividir por 1: Elegir a = 15 y b = 1. 
    15 = 1 × 15 + 0
    Aquí el cociente es 15 y el residuo es 0.
  • Dividir un número entre sí mismo: Elegir a = 9 y b = 9. 
    9 = 9 × 1 + 0
    El cociente es 1 y el residuo es 0.

Usando el lema para encontrar el MCD

El algoritmo euclidiano, que encuentra el máximo común divisor (MCD) de dos números, se basa en el lema de la división de Euclides. A continuación se muestra el procedimiento del algoritmo usando el lema:

Proceso paso a paso para encontrar el MCD

Consideremos dos números a y b:

  1. Sigue usando el lema de la división hasta que r = 0.
  2. Cambia la posición de los números cada vez. a se convierte en b, y b se convierte en r.
  3. Cuando r llega a ser cero, el número que aparece en lugar de b es el MCD.

Ilustremos esto con un ejemplo de encontrar el MCD de 56 y 98:

  1. a = 98, b = 56
  2. Dividir 98 entre 56: 98 = 56 × 1 + 42
  3. Sustituir: a = 56, b = 42
  4. Dividir 56 entre 42: 56 = 42 × 1 + 14
  5. Sustituir: a = 42, b = 14
  6. Dividir 42 entre 14: 42 = 14 × 3 + 0

Ahora el residuo es 0, y el MCD es 14.

Conclusión

El lema de la división de Euclides es una herramienta simple pero poderosa en matemáticas. Sienta las bases para comprender el proceso de división y conduce a métodos generales para resolver problemas matemáticos, como encontrar el MCD. Su simplicidad lo hace accesible, mientras que su utilidad en cálculos lo hace fundamental dentro del campo.


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El lema de la división de Euclides

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