वास्तविक संख्या

वास्तविक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका हम रोजमर्रा की जिंदगी में उपयोग करते हैं। चाहे आप अपनी किताबें गिन रहे हों, टेबल की लंबाई माप रहे हों, या किराने का मूल्य गणना कर रहे हों, संभवतः आप वास्तविक संख्याओं का उपयोग कर रहे हैं। गणित में वास्तविक संख्याओं को समझना मूलभूत होता है और यह विभिन्न व्यावहारिक अनुप्रयोगों में उपयोगी होता है।

वास्तविक संख्याएँ क्या होती हैं?

वास्तविक संख्याएँ सभी संख्याएँ होती हैं जो संख्या रेखा पर उपस्थित होती हैं। इसमें प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्ण संख्याएँ, पूर्णांक, परिमेय संख्याएँ और अपरिमेय संख्याएँ जैसी विभिन्न श्रेणियाँ शामिल होती हैं। ये श्रेणियाँ मिलकर वास्तविक संख्याओं का समूह बनाती हैं।

वास्तविक संख्याएँ = प्राकृतिक संख्याएँ ∪ पूर्ण संख्याएँ ∪ पूर्णांक ∪ परिमेय संख्याएँ ∪ अपरिमेय संख्याएँ

प्राकृतिक संख्याएँ

प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम गिनती के लिए करते हैं। ये संख्याएँ 1 से शुरू होती हैं और अनंत तक जाती हैं: 1, 2, 3, 4, आदि। इनमें 0 या किसी भिन्न या दशमलव को शामिल नहीं किया जाता।

पूर्ण संख्याएँ

पूर्ण संख्याएँ प्राकृतिक संख्याओं जैसी होती हैं, लेकिन इनमें 0 भी शामिल होता है। इसलिए पूर्ण संख्याएँ 0, 1, 2, 3, 4, आदि होती हैं। फिर भी इनमें भिन्न या दशमलव शामिल नहीं होते।

पूर्णांक

पूर्णांक पूर्ण संख्याओं में नकारात्मक संख्याएँ भी शामिल होती हैं। इसलिए, पूर्णांक ...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, आदि होते हैं। पूर्णांक, पूर्ण संख्याओं और उनके विपरीत के रूप में माने जाते हैं। रूप के संदर्भ में सोचें।

परिमेय संख्याएँ

परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिन्हें दो पूर्णांकों के भागफल या भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। एक परिमेय संख्या a/b के रूप में लिखी जाती है, जहाँ a और b पूर्णांक होते हैं, और b शून्य नहीं होता। उदाहरण:

• 3/4 (तीन-चौथाई)
• -5/6 (ऋणात्मक पाँच-छठे)
• 2 (जिसे 2/1 के रूप में लिखा जा सकता है)
• -10 (जिसे -10/1 के रूप में लिखा जा सकता है)

सभी पूर्णांक परिमेय संख्याएँ होती हैं क्योंकि उनके हर में 1 हो सकता है।

अपरिमेय संख्याएँ

अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिन्हें सरल भिन्नों के रूप में नहीं लिखा जा सकता। इनमें अंतहीन और रैखिक दशमलव अंश होते हैं। उदाहरण:

• 2 का वर्गमूल (√2), जो लगभग 1.414213... है
• संख्या π (पाई), जो लगभग 3.141592... है

अपरिमेय संख्याएँ संख्या रेखा के उन "गैप्स" को भरती हैं जिन्हें परिमेय संख्याएँ नहीं भरतीं।

वास्तविक संख्याओं के गुण

वास्तविक संख्याएँ कई मौलिक गुणों का पालन करती हैं जो हमें अंकगणितीय क्रियाएँ करने और गणितीय समस्याओं को हल करने में मदद करते हैं। इन गुणों में शामिल हैं:

परिवर्तनशील गुण

यह गुण बताता है कि जोड़ या गुणा की क्रिया में संख्याओं के क्रम को बदलने से परिणाम नहीं बदलता। उदाहरण:

a + b = b + a
a × b = b × a

उदाहरण: 3 + 5 = 5 + 3 = 8 या 4 × 7 = 7 × 4 = 28।

सहयोगी गुण

यह गुण बताता है कि जब तीन या अधिक संख्याएँ जोड़ी या गुणा की जाती हैं, तब संख्याओं का समूहण योग या गुणनफल को प्रभावित नहीं करता। उदाहरण:

(a + b) + c = a + (b + c)
(a × b) × c = a × (b × c)

उदाहरण: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 या (5 × 6) × 2 = 5 × (6 × 2) = 60।

वितरणीय गुण

यह गुण बताता है कि किसी संख्या को जोड़ को गुणा करना वैसा ही है जैसा कि प्रत्येक गुणा को अलग करना। उदाहरण:

a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

उदाहरण: 3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15 = 27।

पहचान गुण

जोड़ के पहचान गुण के अनुसार, किसी भी संख्या और शून्य का योग वही संख्या होता है, और गुणा के पहचान गुण के अनुसार, किसी भी संख्या और एक का गुणनफल वही संख्या होता है। उदाहरण:

a + 0 = a
a × 1 = a

उदाहरण: 7 + 0 = 7 या 9 × 1 = 9।

निष्कर्ष

वास्तविक संख्याएँ गणित का एक आवश्यक हिस्सा होती हैं और वास्तविक जीवन की स्थितियों में अत्यधिक लागू होती हैं। ये पूर्ण संख्याओं से लेकर भिन्नों तक, साथ ही अंतहीन और रैखिक दशमलव अंश (अपरिमेय संख्याएँ) तक की एक विस्तृत श्रृंखला को शामिल करती हैं। वास्तविक संख्याओं के गुणों को समझने से आप आसानी से अंकगणितीय प्रक्रियाएँ कर सकते हैं और विभिन्न गणितीय समस्याओं को हल कर सकते हैं।

सारांश उदाहरण

आइए वास्तविक संख्याओं का उपयोग करते हुए कुछ उदाहरणों से इसे सारांशित करते हैं:

• यदि आप 2.5 (एक परिमेय संख्या) और √2 (एक अपरिमेय संख्या) को जोड़ें, तो आपको एक वास्तविक संख्या प्राप्त होती है।
• -7 जैसे एक पूर्णांक को आसानी से 10 जैसे दूसरे पूर्णांक में जोड़ा जा सकता है जिससे 3 प्राप्त होता है, जो कि एक वास्तविक संख्या भी है।

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