10º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propriedades dos Números Reais  1.1.2. Números racionais e irracionais  1.1.3. Representação decimal de números reais  1.1.4. Operações com números reais  1.1.5. Números reais na reta numérica  1.2. O lema da divisão de Euclides  1.3. Fatoração de números primos  1.4. Compreendendo o MMC e o MDC em sistemas numéricos  1.5. Expoentes e Radicais  1.5.1. Leis dos expoentes  1.5.2. Simplificação de expressões básicas  1.5.3. Notação científica
  2. Compreendendo Algebra  2.1. Polinômios  2.1.1. Definição e tipos de polinômios  2.1.2. Grau de um polinômio  2.1.3. Zeros de um polinômio  2.1.4. Fatoração de polinômios  2.1.5. Identidades algébricas  2.2. Equações lineares em duas variáveis  2.2.1. Gráficos de equações lineares  2.2.2. Soluções de equações lineares  2.2.3. Aplicação de equações lineares em problemas de palavras  2.3. Entendendo Equações Quadráticas  2.3.1. Forma padrão de equação quadrática  2.3.2. Métodos para resolver equações quadráticas  2.3.2.1. Método de fatoração  2.3.2.2. Método de completar o quadrado  2.3.2.3. Fórmula quadrática  2.3.3. Compreendendo a natureza das raízes em equações quadráticas  2.4. Entendendo progressões aritméticas  2.4.1. Definição de progressão aritmética  2.4.2. Termo geral da Progressão Aritmética (PA)  2.4.3. A soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética  2.5. Introdução às funções  2.5.1. Definição e tipos de funções  2.5.2. Domínio e imagem  2.5.3. Estrutura dos trabalhos  2.5.4. Inverso de uma função
  3. Geometria coordenada  3.1. Introdução ao sistema cartesiano em geometria coordenada  3.2. Fórmula da distância  3.3. Fórmula da seção  3.4. Área de um triângulo  3.5. Inclinação da linha  3.6. Equação de uma linha em geometria coordenada  3.6.1. Forma de inclinação-interceptação  3.6.2. Introdução à forma ponto-inclinação  3.6.3. Forma de dois pontos  3.6.4. Forma de interceptação  3.6.5. Forma geral da linha
  4. Trigonometria  4.1. Razões trigonométricas  4.1.1. Sen, cosseno, tangente e seus inversos  4.1.2. Compreendendo os valores das razões trigonométricas em ângulos específicos  4.2. Identidades Trigonométricas  4.3. Relações trigonométricas de ângulos complementares  4.4. Alturas e distâncias  4.4.1. Compreendendo ângulos de elevação e depressão  4.4.2. Aplicações em problemas da vida real
  5. Geometria  5.1. Triângulo  5.1.1. Congruência de triângulos  5.1.2. Critérios de conformidade  5.1.3. Propriedades dos triângulos  5.2. Compreendendo similaridade na geometria  5.2.1. Compreendendo formas semelhantes na geometria  5.2.2. Critérios de semelhança  5.2.3. Similaridade de triângulos  5.2.4. Aplicações do paralelismo na vida real  5.3. Compreendendo círculos na geometria  5.3.1. Propriedades do círculo  5.3.2. Tangente a um círculo  5.3.3. Número de tangentes a partir de um ponto  5.3.4. Ângulo subtendido pelo arco  5.4. Construções em geometria  5.4.1. Construção de triângulos semelhantes  5.4.2. Tangente a um círculo  5.4.3. Construção de uma bissetriz de ângulo
  6. Mensuração  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de um Triângulo  6.1.2. Compreendendo a área de um paralelogramo  6.1.3. Área do trapézio  6.1.4. Compreendendo a área de um losango  6.2. Área de superfície e volume  6.2.1. Área de superfície de cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.2. Área de superfície do cone e esfera  6.2.3. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.4. Volume de cone e esfera  6.3. Conversão de unidades  6.4. Tronco de cone
  7. Figuras  7.1. Introdução à estatística  7.2. Coleta de dados  7.3. Apresentação de dados  7.3.1. Forma Tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: Uma ferramenta para representação gráfica em estatística  7.3.2.3. Polígono de frequência  7.3.2.4. Ogiva  7.4. Medidas de tendência central  7.4.1. Média, mediana e moda  7.4.2. Compreendendo Quartis e Percentis  7.5. Medidas de dispersão  7.5.1. Alcance e intervalo interquartil  7.5.2. Desvio Padrão e Variância
  8. Possibilidade  8.1. Introdução à Probabilidade  8.2. Probabilidade experimental  8.3. Probabilidade teórica  8.4. Probabilidade de eventos simples  8.5. Programas Complementares  8.6. Probabilidade de eventos mistos

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Números reais na reta numérica


Na matemática, é importante entender onde os números reais se situam na reta numérica. É um conceito fundamental para muitas operações matemáticas, cálculos e distinções entre números. Os números reais consistem em todos os números na reta numérica, sejam eles positivos ou negativos, e incluem o zero. Neste documento, exploraremos o que são os números reais, como eles são organizados e como são representados na reta numérica.

1. O que são números reais?

Números reais são todos os números que você pode encontrar na reta numérica. Eles incluem tanto números racionais quanto números irracionais. Números racionais são números que podem ser expressos como a fração a/b, onde a e b são inteiros e b ≠ 0. Exemplos incluem 1/2, 4, -3.5, etc.

Números irracionais são números que não podem ser escritos como frações simples, possuem decimais não repetitivos e não terminativos. Exemplos são π (pi) e √2 (raiz quadrada de 2).

2. Visualizando a reta numérica

A reta numérica é uma linha reta onde cada ponto corresponde a um número real. Para identificar e visualizar os números reais mais facilmente, imagine uma linha horizontal:

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Os números reais podem ser colocados nas posições correspondentes nesta linha. Os números reais continuam aumentando indefinidamente nas direções positiva e negativa.

3. Entendendo números racionais na reta numérica

Para colocar números racionais na reta numérica, precisamos entender seus valores fracionários. Por exemplo, vamos considerar a fração 1/2. Numericamente, 1/2 é igual a 0.5. Na reta numérica, ela é colocada na posição entre 0 e 1.

1/2

Da mesma forma, -3/4 = -0.75, que fica entre -1 e 0.

-3/4

4. Colocando números irracionais na reta numérica

Números irracionais são mais desafiadores de plotar com precisão porque não podem ser representados exatamente como frações. Suas expansões decimais continuam para sempre sem repetir. Vamos plotar dois números irracionais comuns: π e √2 na reta numérica.

Exemplo 1: Substituindo π

O valor de π (pi) é aproximadamente 3.14159. Na reta numérica, esse número está localizado um pouco à frente do 3.

π

Exemplo 2: Substituindo √2

O valor de √2 é aproximadamente 1.414. Ele está localizado um pouco acima do 1 na reta numérica.

√2

5. Propriedades dos números reais

Os números reais têm várias propriedades essenciais:

Propriedade comutativa

Os números reais obedecem às propriedades comutativas para adição e multiplicação.

a + b = b + a
a × b = b × a

Propriedade associativa

Os números reais também obedecem às propriedades associativas.

(a + b) + c = a + (b + c)
(a × b) × c = a × (b × c)

Propriedade distributiva

A propriedade distributiva conecta adição e multiplicação.

a × (b + c) = a × b + a × c

6. Categorias especiais de números reais

Os números reais podem ser divididos em alguns grupos especiais:

Inteiros

Inteiros incluem todos os números inteiros positivos, negativos e o zero. Eles não incluem frações ou decimais.

..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

Números inteiros

Números inteiros incluem todos os números naturais juntamente com zero.

0, 1, 2, 3, 4, ...

Números naturais

Números naturais incluem todos os números positivos a partir do 1. Eles são frequentemente usados na contagem.

1, 2, 3, 4, ...

7. Uso de números reais na vida real

Os números reais são a base de nossas vidas. Aqui estão algumas aplicações:

Finanças

Os números reais são usados para representar cálculos financeiros, como taxas de juros, saldos e lucros.

Medição

Os números reais são usados para expressar quantidades na medição de tudo, desde comprimento até peso.

Cálculos científicos

Os números reais são usados em todos os cálculos científicos, desde o cálculo de concentrações químicas até experimentos físicos.

8. Exemplos e problemas para prática

Vamos tentar resolver alguns problemas relacionados a números reais na reta numérica.

Problema 1: Identificando números

Marque os seguintes números na reta numérica: -2, 0.75, √5.

Solução

-2 está diretamente acima e à esquerda de 0. O decimal 0.75 fica entre 0 e 1. Finalmente, √5 (aproximadamente 2.236) ficará um pouco mais longe do 2.

Problema 2: Distância na reta numérica

Qual é a distância entre -3 e 2 na reta numérica?

Solução

Para encontrar a distância, subtraia o número menor do maior número: 2 - (-3) = 2 + 3 = 5. A distância é de 5 unidades.

9. Conclusão

O conceito de números reais e seu lugar na reta numérica é extremamente importante na matemática. Ajuda a entender a natureza fundamental dos números, suas interações e sua aplicabilidade na resolução de problemas complexos. Com prática e entendimento, os números reais podem ser uma ferramenta simples, mas poderosa, em seu arsenal matemático.


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