Класс 10
  1. Системы чисел  1.1. Действительные числа  1.1.1. Свойства вещественных чисел  1.1.2. Рациональные и иррациональные числа  1.1.3. Десятичное представление вещественных чисел  1.1.4. Операции с действительными числами  1.1.5. Действительные числа на числовой прямой  1.2. Лемма Евклида о делении  1.3. Разложение на простые множители  1.4. Понимание НОК и НОД в числовых системах  1.5. Показатели степени и корни  1.5.1. Законы степеней  1.5.2. Упрощение базовых выражений  1.5.3. Научная нотация
  2. Понимание алгебры  2.1. Многочлены  2.1.1. Определение и виды многочленов  2.1.2. Степень многочлена  2.1.3. Нули многочлена  2.1.4. Факторизация многочленов  2.1.5. Алгебраические тождества  2.2. Линейные уравнения с двумя переменными  2.2.1. Графики линейных уравнений  2.2.2. Решения линейных уравнений  2.2.3. Применение линейных уравнений в текстовых задачах  2.3. Понимание квадратных уравнений  2.3.1. Стандартная форма квадратного уравнения  2.3.2. Методы решения квадратных уравнений  2.3.2.1. Метод разложения на множители  2.3.2.2. Метод завершения квадрата  2.3.2.3. Квадратная формула  2.3.3. Понимание природы корней в квадратных уравнениях  2.4. Понимание арифметических прогрессий  2.4.1. Определение арифметической прогрессии  2.4.2. Общий член арифметической прогрессии (АП)  2.4.3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии  2.5. Введение в функции  2.5.1. Определение и виды функций  2.5.2. Область определения и область значений  2.5.3. Структура работ  2.5.4. Обратная функция
  3. Координатная геометрия  3.1. Введение в декартову систему в координатной геометрии  3.2. Формула расстояния  3.3. Формула отрезка  3.4. Площадь треугольника  3.5. Наклон линии  3.6. Уравнение прямой в координатной геометрии  3.6.1. Форма уравнения прямой с угловым коэффициентом  3.6.2. Введение в уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту  3.6.3. Форма с двумя точками  3.6.4. Перехватная форма  3.6.5. Общая форма линии
  4. Тригонометрия  4.1. Тригонометрические отношения  4.1.1. Синус, косинус, тангенс и их обратные функции  4.1.2. Понимание значений тригонометрических отношений при определенных углах  4.2. Тригонометрические тождества  4.3. Тригонометрические отношения дополнительного угла  4.4. Высоты и расстояния  4.4.1. Понимание углов возвышения и снижения  4.4.2. Применение в реальных задачах
  5. Геометрия  5.1. Треугольник  5.1.1. Соответствие треугольников  5.1.2. Критерии соответствия  5.1.3. Свойства треугольников  5.2. Понимание подобия в геометрии  5.2.1. Понимание подобных фигур в геометрии  5.2.2. Критерии подобия  5.2.3. Сходство треугольников  5.2.4. Применение параллелизма в реальной жизни  5.3. Понимание окружностей в геометрии  5.3.1. Свойства окружности  5.3.2. Касательная к окружности  5.3.3. Количество касательных из точки  5.3.4. Угол, подстилаемый дугой  5.4. Построения в геометрии  5.4.1. Построение подобных треугольников  5.4.2. Касательная к окружности  5.4.3. Построение биссектрисы угла
  6. Измерение  6.1. Площадь плоских фигур  6.1.1. Площадь треугольника  6.1.2. Понимание площади параллелограмма  6.1.3. Площадь трапеции  6.1.4. Понимание площади ромба  6.2. Площадь поверхности и объем  6.2.1. Площадь поверхности куба, параллелепипеда и цилиндра  6.2.2. Площадь поверхности конуса и сферы  6.2.3. Объем куба, параллелепипеда и цилиндра  6.2.4. Объем конуса и сферы  6.3. Преобразование единиц  6.4. Усеченный конус
  7. Фигуры  7.1. Введение в статистику  7.2. Сбор данных  7.3. Представление данных  7.3.1. Табличная форма  7.3.2. Графическая форма  7.3.2.1. Столбчатая диаграмма  7.3.2.2. Гистограмма: инструмент для графического представления в статистике  7.3.2.3. Полигон частот  7.3.2.4. Огива  7.4. Меры центральной тенденции  7.4.1. Среднее, медиана и мода  7.4.2. Понимание квартилей и процентилей  7.5. Меры изменения  7.5.1. Диапазон и межквартильный размах  7.5.2. Стандартное отклонение и дисперсия
  8. Возможность  8.1. Введение в теорию вероятностей  8.2. Экспериментальная вероятность  8.3. Теоретическая вероятность  8.4. Вероятность простых событий  8.5. Дополнительные программы  8.6. Вероятность смешанных событий

Класс 10 → Системы чисел → Действительные числа ↓


Операции с действительными числами


Действительные числа являются важной частью математики. Они включают в себя все числа, которые мы используем в повседневной жизни. Эти числа можно рассматривать как точки на бесконечной прямой, обычно называемой числовой осью. Числовая ось простирается бесконечно в обоих направлениях, с нулем посередине, положительными числами справа и отрицательными числами слева.



  
  
  0
  
  1
  
  -1

Типы действительных чисел

Действительные числа делятся на различные подгруппы, такие как натуральные числа, целые числа, рациональные и иррациональные числа. Вот краткий обзор этих подгрупп:

  • Натуральные числа: Эти числа используются для подсчета и начинаются с 1. Пример: 1, 2, 3, ...
  • Целые числа: Они включают все натуральные числа и ноль. Пример: 0, 1, 2, 3, ...
  • Целые числа: Это целые числа и их отрицания. Примеры: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
  • Рациональные числа: Любое число, которое может быть выражено в виде дроби p/q, где p и q - целые числа, а q ≠ 0. Пример: 1/2, 3/4, 5 и т.д.
  • Иррациональные числа: Числа, которые не могут быть выражены в виде простых дробей. Их десятичная форма продолжается бесконечно без повторения. Пример: √2, π и т.д.

Основные операции с действительными числами

Операции с действительными числами являются основополагающими в математике. Эти операции включают сложение, вычитание, умножение и деление. Рассмотрим их более подробно:

Сложение

Сложение - это процесс нахождения суммы двух или более чисел. Оно определяется перемещением вправо на числовой оси. Например, 5 + 3 = 8. Вот визуальный пример:



    
    
    
    
    +3
    
        
            
        
    
    5
    8

Как показано выше, начиная с 5 и перемещаясь на 3 единицы вправо на числовой оси, мы получаем 8, что является результатом сложения.

Вычитание

Вычитание - это процесс нахождения разности между двумя числами. На числовой оси это подразумевает перемещение влево. Например, 5 - 3 = 2 выглядит так:



    
    
    
    
    -3
    
        
            
        
    
    5
    2

Начиная с 5 и перемещаясь на 3 единицы влево, получаем результат 2, что является разностью.

Умножение

Умножение - это повторяющееся сложение. Например, 3 x 4 означает сложение 3 четыре раза, что равно 12. Умножение можно представить визуально в виде прыжков на числовой оси:



    
    
    
    
    
    
    
    
    +3
    
        
            
        
    
    0
    12

Начиная с 0, до прибавления 3 повторно мы приходим к результату умножения, когда число достигает 12.

Деление

Деление - это процесс разделения числа на равные части. Например, 12 ÷ 4 = 3 считает, сколько раз 4 умещается в 12. В то время как деление не имеет прямого представления на числовой оси, как сложение или вычитание, оно понимается через деление или группировку.

Чтобы лучше понять деление, можно рассматривать его как группировку. Если у вас есть 12 шоколадок и вы хотите разделить их на пачки по 4, у вас получится 3 пачки. Именно это означает деление.

Свойства действительных чисел

Операции с действительными числами следуют определенным правилам, называемым свойствами. Понимание этих свойств может помочь решать математические задачи более эффективно.

Коммутативное свойство

  • Сложение: a + b = b + a. Например, 2 + 3 = 3 + 2.
  • Умножение: a × b = b × a. Например, 4 × 5 = 5 × 4.

Ассоциативное свойство

  • Сложение: (a + b) + c = a + (b + c). Например, (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3).
  • Умножение: (a × b) × c = a × (b × c). Например, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4).

Распределительное свойство

a × (b + c) = (a × b) + (a × c) Это свойство сочетает в себе как умножение, так и сложение. Например, 2 × (3 + 4) = (2 × 3) + (2 × 4) = 6 + 8 = 14.

Свойство единицы

  • Сложение с единицей: Когда к числу прибавляется 0, число не меняется. Таким образом, a + 0 = a.
  • Умножение на единицу: Когда число умножается на 1, число не меняется. Таким образом, a × 1 = a.

Обратное свойство

  • Добавочное обратное: Для любого действительного числа a его добавочное обратное - -a. a + (-a) = 0.
  • Мультипликативное обратное: Для любого ненулевого числа a его мультипликативное обратное - 1/a. Таким образом, a × (1/a) = 1.

Упорядоченные операции (BODMAS/BIDMAS)

При выполнении операций с более чем одним числом и операцией правила "порядка операций" помогают определить, что следует сделать в первую очередь. Это можно запомнить с помощью акронима BODMAS/BIDMAS:

  • B ракет (скобки)
  • O рдер или I индекс (возведение в степень)
  • D еление и M умножение (слева направо)
  • A сложение и S вычитание (слева направо)

Использование BODMAS/BIDMAS обеспечивает правильность выполнения вычислений. Например, в выражении 3 + 6 × (5 + 4) ÷ 3 - 7, в первую очередь необходимо вычислить то, что находится в скобках, затем выполнить умножение/деление и, наконец, сложение/вычитание.

Заключение

Операции с действительными числами являются основополагающими аспектами математики, с которыми мы часто сталкиваемся при решении различных задач. Важно понимать эти операции, их свойства и порядок операций, чтобы эффективно работать с действительными числами.


Класс 10 → 1.1.4


U
username
0%
завершено в Класс 10

← предыдущая (1.1.3)
Десятичное представление вещественных чисел
следующая (1.1.5) →
Действительные числа на числовой прямой

комментарии 



Операции с действительными числами

https://www.buddymath.com/g10/1.1.4?bmal=ru