वास्तविक संख्याओं पर संचालन

वास्तविक संख्याएं गणित का एक महत्वपूर्ण हिस्सा हैं। वे सभी संख्याओं को शामिल करती हैं जिन्हें हम अपने दैनिक जीवन में उपयोग करते हैं। इन संख्याओं को एक अनंत रेखा पर अंक समझा जा सकता है, जिसे आमतौर पर संख्या रेखा कहा जाता है। संख्या रेखा दोनों दिशाओं में अनिश्चितकाल तक विस्तारित होती है, जिसमें मध्य में शून्य, दाईं ओर सकारात्मक संख्याएं और बाईं ओर नकारात्मक संख्याएं होती हैं।

वास्तविक संख्याओं के प्रकार

वास्तविक संख्याएं विभिन्न उपसमूहों में विभाजित की जाती हैं जैसे कि प्राकृतिक संख्याएं, पूर्णांक संख्याएं, पूर्णांक, परिमेय संख्याएं, और अपरिमेय संख्याएं। इन उपसमूहों का संक्षिप्त अवलोकन यहाँ दिया गया है:

• प्राकृतिक संख्याएं: ये संख्याएं गिनने के लिए प्रयोग की जाती हैं और 1 से शुरू होती हैं। उदाहरण: 1, 2, 3, ...
• पूर्णांक संख्याएं: इनमें सभी प्राकृतिक संख्याएं और शून्य शामिल हैं। उदाहरण: 0, 1, 2, 3, ...
• पूर्णांक: ये पूर्णांक संख्याएं और उनके नकारात्मक हैं। उदाहरण: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
• परिमेय संख्याएं: कोई भी संख्या जिसे p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0। उदाहरण: 1/2, 3/4, 5, आदि।
• अपरिमेय संख्याएं: संख्याएं जिन्हें सरल भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। उनका दशमलव रूप बिना पुनरावृत्ति के अनन्त तक रहता है। उदाहरण: √2, π, आदि।

वास्तविक संख्याओं पर मौलिक संचालन

वास्तविक संख्याओं पर संचालन गणित में मौलिक होते हैं। इनमें जोड़, घटाव, गुणा और भाग शामिल हैं। आइए इन पर विस्तार से देखें:

जोड़

जोड़ दो या अधिक संख्याओं के योग को खोजने की प्रक्रिया है। यह संख्या रेखा पर दाईं ओर बढ़ने से परिभाषित है। उदाहरण के लिए, 5 + 3 = 8 यहाँ एक दृश्य है:

जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, संख्या रेखा पर 5 से शुरू होकर 3 इकाइयों को दाईं ओर ले जाने पर 8 मिलता है, जो जोड़ का परिणाम है।

घटाव

घटाव दो संख्याओं के बीच का अंतर खोजने की प्रक्रिया है। संख्या रेखा पर, यह बाईं ओर बढ़ने की प्रक्रिया है। उदाहरण के लिए, 5 - 3 = 2 ऐसा दिखता है:

संख्या रेखा पर 5 से शुरू करके और 3 इकाइयों को बाईं ओर बढ़ाने पर अंतर 2 मिलता है।

गुणा

गुणा बहुगणन है। उदाहरण के लिए, 3 x 4 का अर्थ है 3 को चार बार जोड़ना, जो 12 के बराबर होता है। गुणा को संख्या रेखा पर कूदों के साथ दृश्य रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है:

0 से शुरू करके, यदि आप 3 को बार-बार जोड़ते हैं, तो संख्या के 12 तक पहुंचने पर गुणा का परिणाम प्रदर्शित किया जाता है।

भाग

भाग एक संख्या को समान भागों में विभाजित करने की प्रक्रिया है। उदाहरण के लिए, 12 ÷ 4 = 3 की गणना करती है कि 12 में 4 कितनी बार फिट हो सकता है। जबकि भाग का सीधे तौर पर संख्या रेखा पर गठन नहीं होता है जैसे कि जोड़ या घटाव, इसे विभाजन या समूह द्वारा समझा जाता है।

भाग को बेहतर समझने के लिए, आप इसे समूह बनाने के रूप में देख सकते हैं। यदि आपके पास 12 चॉकलेट हैं और आप उन्हें 4 के पैक्स में समूह बनाना चाहते हैं, तो आपके पास 3 पैक्स होंगे। यही है जो भाग दर्शाता है।

वास्तविक संख्याओं का गुणधर्म

वास्तविक संख्याओं पर संचालन कुछ विशेष नियमों या गुणों को पालन करते हैं। इन नियमों को समझने से गणितीय समस्याओं को कुशलता से हल करने में मदद मिल सकती है।

परिवर्तनीयता गुण

• जोड़: a + b = b + a। उदाहरण के लिए, 2 + 3 = 3 + 2।
• गुणा: a × b = b × a। उदाहरण के लिए, 4 × 5 = 5 × 4।

समूहबद्धता गुण

• जोड़: (a + b) + c = a + (b + c)। उदाहरण के लिए, (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3)।
• गुणा: (a × b) × c = a × (b × c)। उदाहरण के लिए, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4)।

वितरणीयता गुण

a × (b + c) = (a × b) + (a × c) यह गुण दोनों गुणा और जोड़ को जोड़ता है। उदाहरण के लिए, 2 × (3 + 4) = (2 × 3) + (2 × 4) = 6 + 8 = 14।

पहचान गुण

• जोड़ सीमा: जोड़ सीमा 0 है क्योंकि शून्य जोड़ने पर संख्या नहीं बदलती। इसलिए a + 0 = a।
• गुणा सीमा: गुणा सीमा 1 है क्योंकि 1 से गुणा करने पर संख्या नहीं बदलती। इसलिए a × 1 = a।

विलोम गुण

• जोड़ विलोम: किसी भी वास्तविक संख्या a के लिए, उसका जोड़ विलोम -a होता है। a + (-a) = 0।
• गुणा विलोम: किसी भी गैर-शून्य संख्या a के लिए, उसका गुणा विलोम 1/a होता है। इसलिए, a × (1/a) = 1।

क्रमित संचालन (BODMAS/BIDMAS)

जब एक से अधिक संख्या और संचालन शामिल होते हैं, तो "संचालनों का क्रम" के नियम यह तय करने में मदद करते हैं कि पहले क्या किया जाना चाहिए। इसे BODMAS/BIDMAS संक्षेप में याद रखा जा सकता है:

• B कोष्ठक
• O क्रम या I निर्देशांक (घातांक)
• D भाग और M गुणा (बाएं से दाएं)
• A जोड़ और S घटाव (बाएं से दाएं)

BODMAS/BIDMAS का उपयोग यह सुनिश्चित करता है कि गणना सही ढंग से हो रही है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में 3 + 6 × (5 + 4) ÷ 3 - 7, आपको पहले कोष्ठकों के अंदर मूल्यांकन करना चाहिए, फिर गुणा/भाग और अंत में जोड़/घटाव।

संपूर्ण

वास्तविक संख्याओं पर संचालन गणित के मौलिक पहलू हैं जिनका हम अक्सर विभिन्न समस्या-समाधान कार्य में सामना करते हैं। इन संचालन, उनके गुणधर्मों और संचालन के क्रम को समझना महत्वपूर्ण है ताकि हम वास्तविक संख्याओं के साथ प्रभावी ढंग से काम कर सकें।

टिप्पणियाँ