Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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Operaciones con números reales


Los números reales son una parte importante de las matemáticas. Incluyen todos los números que usamos en nuestra vida diaria. Estos números se pueden considerar como puntos en una línea infinita, comúnmente conocida como la recta numérica. La recta numérica se extiende indefinidamente en ambas direcciones, con el cero en el medio, números positivos a la derecha y números negativos a la izquierda.



  
  
  0
  
  1
  
  -1

Tipos de números reales

Los números reales se dividen en varios subgrupos como números naturales, números enteros, números enteros positivos, números racionales y números irracionales. Aquí hay un breve resumen de estos subgrupos:

  • Números naturales: Estos números se usan para contar y comienzan desde el 1. Ejemplo: 1, 2, 3, ...
  • Números enteros: Incluyen todos los números naturales y el cero. Ejemplo: 0, 1, 2, 3, ...
  • Números enteros positivos: Estos son números enteros y sus negativos. Ejemplos: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
  • Números racionales: Cualquier número que se pueda expresar como un cociente o fracción p/q donde p y q son enteros y q ≠ 0. Ejemplo: 1/2, 3/4, 5, etc.
  • Números irracionales: Números que no se pueden expresar como fracciones simples. Su forma decimal continúa para siempre sin repetirse. Ejemplo: √2, π, etc.

Operaciones básicas con números reales

Las operaciones con números reales son fundamentales en las matemáticas. Estas operaciones incluyen la suma, resta, multiplicación y división. Veamos estos en detalle:

Suma

La suma es el proceso de encontrar la suma de dos o más números. Se define moviendo a la derecha en la recta numérica. Por ejemplo, 5 + 3 = 8. Aquí hay una visualización:



    
    
    
    
    +3
    
        
            
        
    
    5
    8

Como se muestra arriba, comenzando desde 5, moviéndose 3 unidades a la derecha en la recta numérica da 8, que es el resultado de la suma.

Resta

La resta es el proceso de encontrar la diferencia entre dos números. En la recta numérica, esto implica moverse hacia la izquierda. Por ejemplo, 5 - 3 = 2 se ve así:



    
    
    
    
    -3
    
        
            
        
    
    5
    2

Comenzando desde 5 y moviéndose 3 unidades a la izquierda da el resultado 2, que es la diferencia.

Multiplicación

La multiplicación es una suma repetida. Por ejemplo, 3 x 4 significa sumar 3 cuatro veces, lo que equivale a 12. La multiplicación se puede representar visualmente con saltos en la recta numérica:



    
    
    
    
    
    
    
    
    +3
    
        
            
        
    
    0
    12

Comenzando desde 0, si sumas 3 repetidamente, el resultado de la multiplicación se muestra cuando el número alcanza 12.

División

La división es el proceso de dividir un número en partes iguales. Por ejemplo, 12 ÷ 4 = 3 calcula cuántas veces cabe 4 en 12. Aunque la división no tiene una representación directa en la recta numérica como la suma o la resta, se entiende a través de la división o agrupamiento.

Para entender mejor la división, puedes verla como un agrupamiento. Si tienes 12 chocolates y quieres agruparlos en paquetes de 4, tendrás 3 paquetes. Eso es exactamente lo que significa la división.

Propiedades de los números reales

Las operaciones con números reales siguen reglas específicas llamadas propiedades. Entender estas reglas puede ayudar a resolver problemas matemáticos de manera eficiente.

Propiedad conmutativa

  • Suma: a + b = b + a. Por ejemplo, 2 + 3 = 3 + 2.
  • Multiplicación: a × b = b × a. Por ejemplo, 4 × 5 = 5 × 4.

Propiedad asociativa

  • Suma: (a + b) + c = a + (b + c). Por ejemplo, (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3).
  • Multiplicación: (a × b) × c = a × (b × c). Por ejemplo, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4).

Propiedad distributiva

a × (b + c) = (a × b) + (a × c) Esta propiedad combina tanto la multiplicación como la suma. Por ejemplo, 2 × (3 + 4) = (2 × 3) + (2 × 4) = 6 + 8 = 14.

Propiedad de identidad

  • Identidad aditiva: La identidad aditiva es 0 porque sumar 0 no cambia el número. Entonces a + 0 = a.
  • Identidad multiplicativa: La identidad multiplicativa es 1 porque el número no cambia cuando se multiplica por 1. Entonces a × 1 = a.

Propiedad inversa

  • Inverso aditivo: Para cualquier número real a, su inverso aditivo es -a. a + (-a) = 0.
  • Inverso multiplicativo: Para cualquier número diferente de cero a, su inverso multiplicativo es 1/a. Así, a × (1/a) = 1.

Órdenes de operaciones (BODMAS/BIDMAS)

Al realizar operaciones que involucran más de un número y operación, las reglas del "orden de operaciones" ayudan a determinar qué se debe hacer primero. Esto se puede recordar con el acrónimo BODMAS/BIDMAS:

  • B racos
  • O rden o I ndice (exponenciación)
  • D ivisión y M ultiplicación (de izquierda a derecha)
  • A dición y S ubracción (de izquierda a derecha)

Usar BODMAS/BIDMAS asegura que los cálculos se realicen correctamente. Por ejemplo, en la expresión 3 + 6 × (5 + 4) ÷ 3 - 7, primero se evaluaría lo que está dentro de los paréntesis, luego se realizaría la multiplicación/división y finalmente la suma/resta.

Conclusión

Las operaciones con números reales son aspectos fundamentales de las matemáticas que a menudo encontramos en diversas tareas de resolución de problemas. Es importante entender estas operaciones, sus propiedades y el orden de las operaciones para trabajar eficazmente con números reales.


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