Десятичное представление вещественных чисел

Концепция десятичного представления является важной частью понимания вещественных чисел. Вещественные числа включают все числа, которые обычно можно найти на числовой прямой. К ним относятся рациональные числа (такие как дроби и целые числа) и иррациональные числа (такие как квадратные корни из несовершенных квадратов и π). Десятичное представление помогает нам выражать эти числа в читаемом и понятном формате.

Десятичные числа — это способ представления чисел с использованием десятеричной системы счисления, которая также является стандартной системой для представления целых и нецелых чисел. В этой системе каждая цифра после десятичной точки представляет дробь, знаменатель которой является степенью десятки.

Что такое десятичное число?

Прежде чем углубляться в тему, давайте разберемся, что такое десятичное число. Десятичное число состоит из двух частей:

• Целая часть, которая является числом перед десятичной точкой.
• Дробная часть, которая является числом после десятичной точки.

Например, рассмотрим число 45,678. Здесь 45 — это целая часть, а 678 — дробная часть.

Математически, 45,678 также может быть записано как

45 + 0,678

где 0,678 — это десятичная дробь. Чтобы разложить 0,678:

0,678 = 6 * 0,1 + 7 * 0,01 + 8 * 0,001
      = 6/10 + 7/100 + 8/1000

Таким образом, каждый разряд имеет свое собственное значение, определяемое его положением относительно десятичной точки.

Визуализация десятичных чисел

Давайте посмотрим на число 45,678, используя числовую прямую.

Обратите внимание, что 45,678 находится между 45 и 46 на числовой прямой. Дробная часть (0,678) означает, что значение больше 45, но меньше 46, что показывает, как десятичные дроби определяют точное местоположение на числовой прямой.

Типы десятичного представления

Десятичное представление можно разделить на два типа:

1. Конечные десятичные дроби: Эти дроби заканчиваются. Например, десятичное представление дроби 1/2 равно 0,5, а для 1/4 — 0,25.
2. Бесконечные десятичные дроби: Эти дроби продолжаются бесконечно. Бесконечные десятичные дроби можно классифицировать на:
   • Периодические десятичные дроби: Последовательность цифр повторяется бесконечное число раз. Например, десятичное представление 1/3 равно 0.3333..., что можно записать как 0.(3).
   • Непериодические десятичные дроби: Последовательность цифр никогда не повторяется. Это обычно иррациональные числа, такие как π.

Пример конечной десятичной дроби

Рассмотрим простой пример конечной десятичной дроби:

Рассмотрим дробь 1/8. Чтобы преобразовать ее в десятичную дробь, разделите 1 на 8:

            0,125
          ,
        8 | 1,000
           - 8
          ,
            20
           - 16
          ,
             40
            - 40
          ,
              0

Итак, 1/8 равно 0,125, что является конечной десятичной дробью.

Примеры периодических дробей

Рассмотрим дробь 2/3 для периодической десятичной дроби:

            0,6666...
          ,
        3 | 2,000
           - 18
          ,
             20
           - 18
          ,
              20
            - 18
          ,
               20 ...

Цифра '6' продолжается бесконечно, так что ее десятичное представление — 0.(6), что показывает, что '6' является повторяющейся последовательностью.

Примеры непериодических дробей

Примером непериодической, бесконечной десятичной дроби является число π, которое приблизительно равно 3,141592653589793... и цифры продолжаются без повторения.

Смешанные числа

Смешанные числа имеют как целую, так и дробную части, например 7,85, что является суммой целого числа 7 и десятичной дроби 0,85.

Очень легко преобразовать смешанное число в десятичную дробь. Например, число 7 + 43/100 имеет десятичный эквивалент 7,43.

Операции с десятичными числами

Очень важно понять, как осуществляются математические операции над десятичными числами. Давайте изучим основные операции:

Сложение

Чтобы сложить десятичные числа, выровняйте точки и сложите числа как целые:

Пример: Сложите 12,56 и 7,4.

   12,56
+  7,40
,
   19,96

Вычитание

Вычтите десятичные числа, выровняв точки, и вычтите, как целые:

Пример: Вычтите 4,38 из 9,15.

   9,15
-  4,38
,
   4,77

Умножение

Умножайте десятичные числа как целые, затем поставьте десятичную точку в ответ, посчитав общее количество десятичных знаков в обоих числах:

Пример: Умножьте 6,3 на 0,5.

       6,3
  × 0,5
,
      315 (игнорируем первую десятичную точку)
   + 000
,
     3,15 (одна десятичная точка в каждом множителе, так что две в сумме)

Деление

Деление десятичных чисел включает в себя перемещение десятичной точки, чтобы делитель стал целым числом, и соответствующее изменение делимого:

Пример: Разделите 4,5 на 0,3.

   Перемещая десятичную точку вперед на одно место, 4,5 становится 45, а 0,3 становится 3.

   45 ÷ 3 = 15

Превращение дробей в десятичные числа

Преобразование из дробей в десятичные числа осуществляется делением. Если процесс деления завершается, дробь является конечной. Если он повторяется, дробь является периодической. Давайте рассмотрим примеры этого процесса:

Пример конечных дробей

Преобразуйте 7/8 в десятичную дробь:

   0,875
  ,
8 | 7,000
   - 64
  ,
     60
    - 56
  ,
      40
    - 40
  ,
       0

Ответ равен 0,875, что является конечной десятичной дробью.

Пример периодической дроби

Преобразуйте 1/9 в десятичную дробь:

   0,1111...
  ,
9 | 1,0000
   -0,9
  ,
    100
   - 90
  ,
     100
   ,

Цифра 1 повторяется бесконечно, так что ответ равен 0.(1).

Преобразование десятичных дробей в дроби

Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь, запишите десятичное число поверх его значения. Сократите получившуюся дробь до простейшей формы.

Пример конечных дробей

Преобразуйте 0,75 в дробь:

0,75 = 75/100 = 3/4 (после упрощения)

Пример периодической дроби

Рассмотрим преобразование периодической дроби 0,6666... в дробь. Пусть x = 0,666....

1. Умножьте обе стороны на 10:
   10x = 6,666...
   
2. Вычтите первое уравнение из второго:
   10x - x = 6,666... - 0,666...

3. Решите уравнение x:
   9x = 6
   x = 6/9
   Упрощение:
   x = 2/3

Округление десятичных дробей

Округление — это процесс округления десятичных дробей до определенной точности.

Правила округления

• Если цифра справа меньше 5, округлите вниз.
• Если цифра справа равна или больше 5, округлите вверх.

Пример округления

Округлите 4,736 до двух знаков после запятой:

Проверьте третий знак после запятой (6) - он ≥5, поэтому увеличьте второй знак после запятой на 1: 4,74.

Заключение

В заключение, овладение десятичным представлением критически важно для понимания вещественных чисел. Они служат мостом, который позволяет нам беспрепятственно переходить между точными значениями дробей и непосредственностью арифметических операций на числовой прямой. От конечных до бесконечных десятичных дробей, каждая предлагает уникальное понимание отношений и поведения чисел. Практика работы с различными примерами укрепит ваше знание, гарантируя, что вы сможете уверенно ориентироваться в математических задачах и решениях. Вещественные числа, со своей бесконечной потенциальной, продолжают играть важную роль в математике и мире вокруг нас.

комментарии