Representação decimal de números reais

O conceito de representação decimal é uma parte essencial para entender os números reais. Números reais incluem todos os números que normalmente você encontraria em uma reta numérica. Estes incluem números racionais (como frações e inteiros) e números irracionais (como raízes quadradas de números não quadrados perfeitos e π). A representação decimal nos ajuda a expressar esses números em um formato legível e compreensível.

Números decimais são uma forma de representar números usando o sistema numérico de base-10, que também é o sistema padrão para representar números inteiros e não inteiros. Neste sistema, cada dígito após o ponto decimal representa uma fração cujo denominador é uma potência de dez.

O que é um número decimal?

Antes de entrar profundamente no tópico, vamos entender o que é um número decimal. Um número decimal tem duas partes:

• A parte inteira, que é o número antes do ponto decimal.
• A parte fracionária, que é o número após o ponto decimal.

Por exemplo, considere o número 45,678. Aqui, 45 é a parte inteira, e 678 é a parte fracionária.

Matematicamente, 45,678 também pode ser escrito como

45 + 0,678

Onde 0,678 é uma fração decimal. Para expandir 0,678:

0,678 = 6 * 0,1 + 7 * 0,01 + 8 * 0,001
      = 6/10 + 7/100 + 8/1000

Assim, cada dígito tem seu próprio valor de lugar, determinado por sua posição em relação ao ponto decimal.

Visualização de números decimais

Vamos olhar para o número 45,678 usando a reta numérica.

Observe que 45,678 cai entre 45 e 46 na reta numérica. A parte fracionária (0,678) significa que o valor é maior que 45, mas menor que 46, o que mostra como os decimais determinam a localização exata na reta numérica.

Tipos de representação decimal

A representação decimal pode ser dividida em dois tipos:

1. Decimais finitos: Estes decimais terminam. Por exemplo, a representação decimal da fração 1/2 é 0,5, e para 1/4 é 0,25.
2. Decimais não finitos: Estes decimais continuam para sempre. Decimais não finitos são ainda classificados em:
   • Decimais periódicos: Uma sequência de dígitos é repetida infinitamente. Por exemplo, a representação decimal de 1/3 é 0,3333..., que pode ser escrito como 0,(3).
   • Decimais não periódicos: A sequência de dígitos nunca se repete. Estes são geralmente números irracionais, como π.

Exemplo de decimal finito

Vamos trabalhar em um exemplo simples de um decimal finito:

Considere a fração 1/8. Para convertê-la em decimal, divida 1 por 8:

            0,125
          ,
        8 | 1,000
           - 8
          ,
            20
           - 16
          ,
             40
            - 40
          ,
              0

Então 1/8 é igual a 0,125, que é um decimal finito.

Exemplos de decimais periódicos

Considere a fração 2/3 para um decimal periódico:

            0,6666...
          ,
        3 | 2,000
           - 18
          ,
             20
           - 18
          ,
              20
            - 18
          ,
               20 ...

O dígito '6' continua indefinidamente, então seu decimal é 0,(6), o que mostra que '6' é uma sequência periódica.

Exemplos de decimais não periódicos

Um exemplo de um decimal não periódico, não finito é o número π, que é aproximadamente igual a 3,141592653589793..., e os dígitos continuam sem repetir.

Número misto

Números mistos têm partes inteiras e fracionárias, como 7,85, que é a soma do número inteiro 7 e da fração decimal 0,85.

É muito fácil converter um número misto em decimal. Por exemplo, o número 7 + 43/100 tem um equivalente decimal de 7,43.

Operações com números decimais

É muito importante entender como operações matemáticas são realizadas com números decimais. Vamos aprender sobre as operações básicas:

Adição

Para adicionar decimais, alinhe os pontos decimais e proceda como para números inteiros:

Exemplo: Adicione 12,56 e 7,4.

   12,56
+ 7,40
,
   19,96

Subtração

Subtraia decimais alinhando os pontos decimais e subtraindo como números inteiros:

Exemplo: Subtraia 4,38 de 9,15.

   9,15
- 4,38
,
   4,77

Multiplicação

Multiplique os decimais como números inteiros, depois coloque o ponto decimal na resposta contando os lugares decimais totais em ambos os números:

Exemplo: Multiplique 6,3 por 0,5.

       6,3
  × 0,5
,
      315 (ignore primeiro decimal)
   + 000
,
    3,15 (um decimal em cada fator, então dois no total)

Divisão

Dividir decimais envolve mover o ponto decimal para tornar o divisor um número inteiro e ajustar o dividendo de acordo:

Exemplo: Divida 4,5 por 0,3.

   Movendo o ponto decimal para frente um lugar, 4,5 se torna 45, e 0,3 se torna 3.

   45 ÷ 3 = 15

Convertendo frações para decimais

A conversão de frações para decimais é alcançada por divisão. Se o processo de divisão terminar, o decimal é finito. Se ele se repete, o decimal é periódico. Vamos ver exemplos deste processo:

Exemplo de decimais finitos

Converta 7/8 para decimal:

   0,875
  ,
8 | 7,000
   - 64
  ,
     60
    - 56
  ,
      40
    - 40
  ,
       0

A resposta é 0,875, que é um decimal finito.

Exemplo de decimal periódico

Converta 1/9 para decimal:

   0,1111...
  ,
9 | 1,0000
   -0,9
  ,
    100
   - 90
  ,
     100
   ,

O dígito 1 se repete indefinidamente, então a resposta é 0,(1).

Convertendo decimais para frações

Para converter um decimal em uma fração, escreva o número decimal sobre seu valor de lugar. Reduza a fração resultante para sua forma mais simples.

Exemplo de decimais finitos

Converta 0,75 em uma fração:

0,75 = 75/100 = 3/4 (após simplificação)

Exemplo de um decimal periódico

Considere converter o decimal periódico 0,6666... em uma fração. Deixe x = 0,666....

1. Multiplique ambos os lados por 10:
   10x = 6,666...
   
2. Subtraia a primeira equação da segunda:
   10x - x = 6,666... - 0,666...

3. Resolva para x:
   9x = 6
   x = 6/9
   Simplificação:
   x = 2/3

Arredondamento decimal

Arredondamento é o processo de arredondar decimais para uma precisão específica.

Regras de arredondamento

• Se o dígito à direita for menor que 5, arredonde para baixo.
• Se o dígito à direita for 5 ou mais, arredonde para cima.

Exemplo de arredondamento

Arredonde 4,736 para duas casas decimais:

Verifique a terceira casa decimal (6) - é ≥5, então aumente a segunda casa decimal em 1: 4,74.

Conclusão

Em conclusão, dominar a representação decimal é crucial para entender os números reais. Eles servem como uma ponte que nos permite mover sem problemas entre os valores exatos das frações e a imediatidade das operações aritméticas na reta numérica. De decimais finitos a não-finitos, cada um oferece uma visão única sobre as relações e comportamentos dos números. Pratique com uma variedade de exemplos para fortalecer seu conhecimento, garantindo que você possa navegar com confiança por problemas e soluções matemáticas. Números reais, com seu potencial infinito, continuam a desempenhar um papel vital na matemática e no mundo ao nosso redor.

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