वास्तविक संख्याओं का दशमलव प्रतिनिधित्व

दशमलव प्रतिनिधित्व की अवधारणा वास्तविक संख्याओं को समझने का एक आवश्यक हिस्सा है। वास्तविक संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें आप सामान्यतः संख्या रेखा पर पाते हैं। इनमें परिमेय संख्याएँ (जैसे भिन्न और पूर्णांक) और अपरिमेय संख्याएँ (जैसे अपूर्ण वर्गमूल और π) शामिल होते हैं। दशमलव प्रतिनिधित्व हमें इन संख्याओं को पठनीय और समझने योग्य प्रारूप में व्यक्त करने में मदद करता है।

दशमलव संख्याएँ संख्याओं को आधार-10 अंक प्रणाली का उपयोग करते हुए दर्शाने का एक तरीका हैं, जो पूर्णांक और गैर-पूर्णांक संख्याओं के लिए भी मानक प्रणाली है। इस प्रणाली में दशमलव बिंदु के बाद प्रत्येक अंक का प्रतिनिधित्व एक भिन्न करता है जिसका हर का मान दस की शक्ति होती है।

दशमलव संख्या क्या है?

विषय में गहराई में जाने से पहले, आइए समझें कि दशमलव संख्या क्या होती है। एक दशमलव संख्या के दो भाग होते हैं:

• पूर्णांक भाग, जो कि दशमलव बिंदु के पहले का अंक होता है।
• भिन्नात्मक भाग, जो कि दशमलव बिंदु के बाद का अंक होता है।

उदाहरण के लिए, संख्या 45.678 को देखें। यहाँ, 45 पूर्णांक भाग है, और 678 भिन्नात्मक भाग है।

गणितीय रूप से, 45.678 को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है

45 + 0.678

जहाँ 0.678 एक दशमलव भिन्न है। 0.678 को विस्तार करने के लिए:

0.678 = 6 * 0.1 + 7 * 0.01 + 8 * 0.001
      = 6/10 + 7/100 + 8/1000

इस प्रकार, प्रत्येक अंक का अपना स्थान मूल्य होता है, जो उसके दशमलव बिंदु के संबंध में उसके स्थान द्वारा निर्धारित होता है।

दशमलव संख्याओं का दृश्य-दर्शन

संख्या रेखा का उपयोग करके संख्या 45.678 को देखें।

नोट करें कि 45.678 संख्या रेखा पर 45 और 46 के बीच आती है। भिन्नात्मक भाग (0.678) का अर्थ है कि मान 45 से अधिक है लेकिन 46 से कम है, जो दशमलव यह दर्शाता है कि संख्या रेखा पर सही स्थान कैसे निर्धारित करते हैं।

दशमलव प्रतिनिधित्व के प्रकार

दशमलव प्रतिनिधित्व को दो प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है:

1. समाप्त दशमलव: ये दशमलव सीमा पर समाप्त होते हैं। उदाहरण के लिए भिन्न 1/2 का दशमलव प्रतिनिधित्व 0.5 है, और 1/4 के लिए यह 0.25 है।
2. असामाप्त दशमलव: ये दशमलव अनंत तक चलते रहते हैं। असामाप्त दशमलव को और श्रेणियों में विभाजित किया गया है:
   • दोहराती दशमलव: अंक का एक अनुक्रम अनंत बार दोहराया जाता है। उदाहरण के लिए, 1/3 का दशमलव प्रतिनिधित्व 0.3333... है, जिसे 0.(3) के रूप में लिखा जा सकता है।
   • अदोहराती दशमलव: अंकों का अनुक्रम कभी नहीं दोहराया जाता है। ये आमतौर पर अपरिमेय संख्याएँ होती हैं, जैसे π।

समाप्त दशमलव उदाहरण

समाप्त दशमलव का एक सरल उदाहरण देखें:

भिन्न 1/8 पर विचार करें। इसे दशमलव में बदलने के लिए, 1 को 8 से विभाजित करें:

            0.125
          ,
        8 | 1.000
           - 8
          ,
            20
           - 16
          ,
             40
            - 40
          ,
              0

इस प्रकार 1/8 के बराबर 0.125 होता है, जो एक समाप्त दशमलव है।

दोहराती दशमलव उदाहरण

दोहराती दशमलव के लिए भिन्न 2/3 पर विचार करें:

            0.6666...
          ,
        3 | 2.000
           - 18
          ,
             20
           - 18
          ,
              20
            - 18
          ,
               20 ...

अंक '6' अनिश्चित काल तक चलता रहता है, इसलिए इसका दशमलव 0.(6) है, जो दर्शाता है कि '6' एक दोहराती अनुक्रम है।

अदोहराती दशमलव उदाहरण

एक अदोहराती, असामाप्त दशमलव का उदाहरण संख्या π है, जो लगभग 3.141592653589793... के बराबर होती है, और अंक बिना दोहराए चलते रहते हैं।

मिश्रित संख्या

मिश्रित संख्याओं में पूर्णांक और भिन्नात्मक भाग दोनों होते हैं, जैसे 7.85, जो कि पूर्णांक 7 और दशमलव भिन्न 0.85 का योग होता है।

मिश्रित संख्या को दशमलव में बदलना बहुत आसान है। उदाहरण के लिए, संख्या 7 + 43/100 का दशमलव समकक्ष 7.43 है।

दशमलव संख्याओं पर संक्रियाएँ

यह समझना अति महत्वपूर्ण है कि दशमलव संख्याओं पर गणितीय संक्रियाएँ कैसे की जाती हैं। आइए कुछ मूलभूत संक्रियाओं के बारे में सीखें:

जोड़

दशमलव को जोड़ने के लिए, दशमलव बिंदुओं को संरेखित करें और पूरे संख्याओं की तरह जोड़ें:

उदाहरण: 12.56 और 7.4 को जोड़ें।

   12.56
+ 7.40
,
   19.96

घटाव

दशमलव को घटाने के लिए, दशमलव बिंदुओं को संरेखित करें और जैसे पूरे संख्याओं की तरह घटाएं:

उदाहरण: 9.15 में से 4.38 घटाएं।

   9.15
- 4.38
,
   4.77

गुणा

दशमलव संख्याओं को पूरे संख्याओं के रूप में गुणा करें, फिर उत्तर में दशमलव बिंदु को उस कुल दशमलव स्थानों की गिनती करके रखें जो दोनों संख्याओं में होते हैं:

उदाहरण: 6.3 को 0.5 से गुणा करें।

       6.3
  × 0.5
,
      315 (पहले दशमलव को अनदेखा करें)
   + 000
,
    3.15 (दोनों गुणांक में एक दशमलव है, इसलिए कुल दो हैं)

विभाजन

दशमलव को विभाजित करते समय, भाजक को पूरी संख्या बनाने के लिए दशमलव स्थान बदलें और लाभांश को समायोजित करें:

उदाहरण: 4.5 को 0.3 से विभाजित करें।

   दशमलव को एक स्थान आगे बढ़ाते हुए, 4.5 45 बनता है, और 0.3 3 बनता है।

   45 ÷ 3 = 15

भिन्नों को दशमलव में बदलना

भिन्नों को दशमलव में बदलने के लिए विभाजन किया जाता है। यदि विभाजन प्रक्रिया समाप्त होती है, तो दशमलव समाप्त है। यदि यह अनवरत होती है, तो यह दोहराती दशमलव होती है। आइए इस प्रक्रिया के उदाहरण देखें:

समाप्त दशमलव उदाहरण

भिन्न 7/8 को दशमलव में बदलें:

   0.875
  ,
8 | 7.000
   - 64
  ,
     60
    - 56
  ,
      40
    - 40
  ,
       0

उत्तर 0.875 है, जो एक समाप्त दशमलव है।

दोहराती दशमलव उदाहरण

भिन्न 1/9 को दशमलव में बदलें:

   0.1111...
  ,
9 | 1.0000
   -0.9
  ,
    100
   - 90
  ,
     100
   ,

अंक 1 अनिश्चित काल तक चलता रहता है, इसलिए उत्तर 0.(1) है।

दशमलव को भिन्नों में बदलना

दशमलव को भिन्न में बदलने के लिए, दशमलव संख्या को उसकी स्थान मूल्य के ऊपर लिखें। परिणामी भिन्न को उसके सरलतम रूप में कम करें।

समाप्त दशमलव का उदाहरण

0.75 को भिन्न में बदलें:

0.75 = 75/100 = 3/4 (सरलीकरण के बाद)

दोहराती दशमलव का उदाहरण

दोहराती दशमलव 0.6666... को भिन्न में बदलने पर विचार करें। x = 0.666... होने दें।

1. दोनों पक्षों को 10 से गुणा करें:
   10x = 6.666...
   
2. पहले समीकरण को दूसरे से घटाएं:
   10x - x = 6.666... - 0.666...

3. x के लिए हल करें:
   9x = 6
   x = 6/9
   सरलीकरण:
   x = 2/3

दशमलव राउंडिंग

राउंडिंग दशमलव को किसी विशेष शुद्धता तक गोल करने की प्रक्रिया है।

राउंडिंग ऑफ नियम

• यदि दाईं ओर का अंक 5 से कम है, तो उसे नीचे गोल करें।
• यदि दाईं ओर का अंक 5 या अधिक है, तो उसे ऊपर गोल करें।

राउंडिंग का उदाहरण

4.736 को दो दशमलव स्थानों तक गोल करें:

तीसरे दशमलव स्थान (6) की जाँच करें - यह ≥5 है, इसलिए दूसरे दशमलव स्थान को 1 से बढ़ाएं: 4.74।

निष्कर्ष

अंत में, दशमलव प्रतिनिधित्व को सीखना वास्तविक संख्याओं को समझने में महत्वपूर्ण है। वे एक पुल की तरह सेवा करते हैं जो हमें भिन्नों के सही मानों और संख्या रेखा पर अंकगणितीय संक्रियाओं के तत्कालता के बीच सहजता से स्थानांतरित करने की अनुमति देता है। समाप्त से लेकर असामाप्त दशमलव तक, प्रत्येक नंबरों के संबंधों और व्यवहारों में एक अनोखी अंतर्दृष्टि प्रदान करती है। विभिन्न उदाहरणों के साथ अभ्यास करें ताकि आप अपने ज्ञान को मजबूत कर सकें, यह सुनिश्चित करते हुए कि आप गणितीय समस्याओं और समाधानों के माध्यम से आत्मविश्वास से नेविगेट कर सकते हैं। वास्तविक संख्याएँ, अपनी अनंत संभावनाओं के साथ, गणित और हमारे चारों ओर की दुनिया में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाना जारी रखती हैं।

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