Representación decimal de números reales

El concepto de representación decimal es una parte esencial para comprender los números reales. Los números reales incluyen todos los números que normalmente se encontrarían en una línea numérica. Estos incluyen números racionales (como fracciones y enteros) y números irracionales (como raíces cuadradas de cuadrados no perfectos y π). La representación decimal nos ayuda a expresar estos números en un formato legible y comprensible.

Los números decimales son una forma de representar números utilizando el sistema numérico base-10, que también es el sistema estándar para representar enteros y números no enteros. En este sistema, cada dígito después del punto decimal representa una fracción cuyo denominador es una potencia de diez.

¿Qué es un número decimal?

Antes de profundizar en el tema, entendamos qué es un número decimal. Un número decimal tiene dos partes:

• La parte entera, que es el número antes del punto decimal.
• La parte fraccional, que es el número después del punto decimal.

Por ejemplo, considera el número 45.678. Aquí, 45 es la parte entera, y 678 es la parte fraccional.

Matemáticamente, 45.678 también se puede escribir como

45 + 0.678

Dónde 0.678 es una fracción decimal. Para expandir 0.678:

0.678 = 6 * 0.1 + 7 * 0.01 + 8 * 0.001
      = 6/10 + 7/100 + 8/1000

Así, cada dígito tiene su propio valor posicional, determinado por su posición relativa al punto decimal.

Visualización de números decimales

Veamos el número 45.678 usando la línea numérica.

Nota que 45.678 cae entre 45 y 46 en la línea numérica. La parte fraccional (0.678) significa que el valor es mayor que 45 pero menor que 46, lo que muestra cómo los decimales determinan la ubicación exacta en la línea numérica.

Tipos de representación decimal

La representación decimal se puede dividir en dos tipos:

1. Decimales terminados: Estos decimales terminan. Por ejemplo, la representación decimal de la fracción 1/2 es 0.5, y para 1/4 es 0.25.
2. Decimales no terminados: Estos decimales continúan para siempre. Los decimales no terminados se clasifican además en:
   • Decimales repetidos: Una secuencia de dígitos se repite un número infinito de veces. Por ejemplo, la representación decimal de 1/3 es 0.3333..., que se puede escribir como 0.(3).
   • Decimales no repetidos: La secuencia de dígitos nunca se repite. Estos son generalmente números irracionales, como π.

Ejemplo de decimal terminado

Trabajemos con un simple ejemplo de un decimal terminado:

Considera la fracción 1/8. Para convertirla a decimal, divide 1 entre 8:

            0.125
          ,
        8 | 1.000
           - 8
          ,
            20
           - 16
          ,
             40
            - 40
          ,
              0

Así que 1/8 es igual a 0.125, que es un decimal terminado.

Ejemplos de decimal repetido

Considera la fracción 2/3 para un decimal recurrente:

            0.6666...
          ,
        3 | 2.000
           - 18
          ,
             20
           - 18
          ,
              20
            - 18
          ,
               20 ...

El dígito '6' continúa indefinidamente, por lo que su decimal es 0.(6), lo que muestra que '6' es una secuencia repetida.

Ejemplos de decimal no recurrente

Un ejemplo de un decimal no recurrente y no terminado es el número π, que es aproximadamente igual a 3.141592653589793..., y los dígitos continúan sin repetirse.

Número mixto

Los números mixtos tienen tanto partes enteras como fraccionarias, como 7.85, que es la suma del número entero 7 y la fracción decimal 0.85.

Es muy fácil convertir un número mixto a decimal. Por ejemplo, el número 7 + 43/100 tiene un equivalente decimal de 7.43.

Operaciones con números decimales

Es muy importante entender cómo se realizan las operaciones matemáticas en los números decimales. Aprendamos sobre las operaciones básicas:

Suma

Para sumar decimales, alinea los puntos decimales y procede como con números enteros:

Ejemplo: Sumar 12.56 y 7.4.

   12.56
+ 7.40
,
   19.96

Resta

Resta decimales alineando los puntos decimales y restando como números enteros:

Ejemplo: Restar 4.38 de 9.15.

   9.15
- 4.38
,
   4.77

Multiplicación

Multiplica los decimales como números enteros, luego coloca el punto decimal en la respuesta contando el total de lugares decimales en ambos números:

Ejemplo: Multiplica 6.3 por 0.5.

       6.3
  × 0.5
,
      315 (ignorar primer decimal)
   + 000
,
    3.15 (un decimal en cada factor, por lo tanto dos en total)

División

Dividir decimales implica mover el lugar decimal para hacer que el divisor sea un número entero y ajustar el dividendo en consecuencia:

Ejemplo: Divide 4.5 entre 0.3.

   Moviendo el punto decimal a la derecha un lugar, 4.5 se convierte en 45, y 0.3 se convierte en 3.

   45 ÷ 3 = 15

Conversión de fracciones a decimales

La conversión de fracciones a decimales se logra mediante la división. Si el proceso de división termina, el decimal es terminado. Si se repite, el decimal es repetido. Veamos ejemplos de este proceso:

Ejemplo de decimales terminados

Convierte 7/8 a decimal:

   0.875
  ,
8 | 7.000
   - 64
  ,
     60
    - 56
  ,
      40
    - 40
  ,
       0

La respuesta es 0.875, que es un decimal terminado.

Ejemplo de un decimal repetido

Convierte 1/9 a decimal:

   0.1111...
  ,
9 | 1.0000
   -0.9
  ,
    100
   - 90
  ,
     100
   ,

El dígito 1 se repite indefinidamente, por lo que la respuesta es 0.(1).

Conversión de decimales a fracciones

Para convertir un decimal a una fracción, escribe el número decimal sobre su valor posicional. Reduce la fracción resultante a su forma más simple.

Ejemplo de decimales terminados

Convierte 0.75 a una fracción:

0.75 = 75/100 = 3/4 (después de simplificación)

Ejemplo de un decimal repetido

Considera convertir el decimal repetido 0.6666... a una fracción. Sea x = 0.666....

1. Multiplica ambos lados por 10:
   10x = 6.666...
   
2. Resta la primera ecuación de la segunda:
   10x - x = 6.666... - 0.666...

3. Resuelve para x:
   9x = 6
   x = 6/9
   Simplificación:
   x = 2/3

Redondeo de decimales

El redondeo es el proceso de redondear decimales a una precisión específica.

Reglas de redondeo

• Si el dígito a la derecha es menor que 5, redondea hacia abajo.
• Si el dígito a la derecha es 5 o más, redondea hacia arriba.

Ejemplo de redondeo

Redondear 4.736 a dos decimales:

Verifique el tercer decimal (6) - es ≥5, así que aumente el segundo decimal en 1: 4.74.

Conclusión

En conclusión, dominar la representación decimal es crucial para comprender los números reales. Sirven como un puente que nos permite movernos sin problemas entre los valores exactos de las fracciones y la inmediatez de las operaciones aritméticas en la línea numérica. Desde decimales terminados hasta no terminados, cada uno ofrece una visión única de las relaciones y comportamientos de los números. Practica con una variedad de ejemplos para fortalecer tu conocimiento, asegurándote de navegar con confianza a través de problemas matemáticos y soluciones. Los números reales, con su potencial infinito, continúan desempeñando un papel vital en las matemáticas y el mundo que nos rodea.

Comentarios