Класс 10
  1. Системы чисел  1.1. Действительные числа  1.1.1. Свойства вещественных чисел  1.1.2. Рациональные и иррациональные числа  1.1.3. Десятичное представление вещественных чисел  1.1.4. Операции с действительными числами  1.1.5. Действительные числа на числовой прямой  1.2. Лемма Евклида о делении  1.3. Разложение на простые множители  1.4. Понимание НОК и НОД в числовых системах  1.5. Показатели степени и корни  1.5.1. Законы степеней  1.5.2. Упрощение базовых выражений  1.5.3. Научная нотация
  2. Понимание алгебры  2.1. Многочлены  2.1.1. Определение и виды многочленов  2.1.2. Степень многочлена  2.1.3. Нули многочлена  2.1.4. Факторизация многочленов  2.1.5. Алгебраические тождества  2.2. Линейные уравнения с двумя переменными  2.2.1. Графики линейных уравнений  2.2.2. Решения линейных уравнений  2.2.3. Применение линейных уравнений в текстовых задачах  2.3. Понимание квадратных уравнений  2.3.1. Стандартная форма квадратного уравнения  2.3.2. Методы решения квадратных уравнений  2.3.2.1. Метод разложения на множители  2.3.2.2. Метод завершения квадрата  2.3.2.3. Квадратная формула  2.3.3. Понимание природы корней в квадратных уравнениях  2.4. Понимание арифметических прогрессий  2.4.1. Определение арифметической прогрессии  2.4.2. Общий член арифметической прогрессии (АП)  2.4.3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии  2.5. Введение в функции  2.5.1. Определение и виды функций  2.5.2. Область определения и область значений  2.5.3. Структура работ  2.5.4. Обратная функция
  3. Координатная геометрия  3.1. Введение в декартову систему в координатной геометрии  3.2. Формула расстояния  3.3. Формула отрезка  3.4. Площадь треугольника  3.5. Наклон линии  3.6. Уравнение прямой в координатной геометрии  3.6.1. Форма уравнения прямой с угловым коэффициентом  3.6.2. Введение в уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту  3.6.3. Форма с двумя точками  3.6.4. Перехватная форма  3.6.5. Общая форма линии
  4. Тригонометрия  4.1. Тригонометрические отношения  4.1.1. Синус, косинус, тангенс и их обратные функции  4.1.2. Понимание значений тригонометрических отношений при определенных углах  4.2. Тригонометрические тождества  4.3. Тригонометрические отношения дополнительного угла  4.4. Высоты и расстояния  4.4.1. Понимание углов возвышения и снижения  4.4.2. Применение в реальных задачах
  5. Геометрия  5.1. Треугольник  5.1.1. Соответствие треугольников  5.1.2. Критерии соответствия  5.1.3. Свойства треугольников  5.2. Понимание подобия в геометрии  5.2.1. Понимание подобных фигур в геометрии  5.2.2. Критерии подобия  5.2.3. Сходство треугольников  5.2.4. Применение параллелизма в реальной жизни  5.3. Понимание окружностей в геометрии  5.3.1. Свойства окружности  5.3.2. Касательная к окружности  5.3.3. Количество касательных из точки  5.3.4. Угол, подстилаемый дугой  5.4. Построения в геометрии  5.4.1. Построение подобных треугольников  5.4.2. Касательная к окружности  5.4.3. Построение биссектрисы угла
  6. Измерение  6.1. Площадь плоских фигур  6.1.1. Площадь треугольника  6.1.2. Понимание площади параллелограмма  6.1.3. Площадь трапеции  6.1.4. Понимание площади ромба  6.2. Площадь поверхности и объем  6.2.1. Площадь поверхности куба, параллелепипеда и цилиндра  6.2.2. Площадь поверхности конуса и сферы  6.2.3. Объем куба, параллелепипеда и цилиндра  6.2.4. Объем конуса и сферы  6.3. Преобразование единиц  6.4. Усеченный конус
  7. Фигуры  7.1. Введение в статистику  7.2. Сбор данных  7.3. Представление данных  7.3.1. Табличная форма  7.3.2. Графическая форма  7.3.2.1. Столбчатая диаграмма  7.3.2.2. Гистограмма: инструмент для графического представления в статистике  7.3.2.3. Полигон частот  7.3.2.4. Огива  7.4. Меры центральной тенденции  7.4.1. Среднее, медиана и мода  7.4.2. Понимание квартилей и процентилей  7.5. Меры изменения  7.5.1. Диапазон и межквартильный размах  7.5.2. Стандартное отклонение и дисперсия
  8. Возможность  8.1. Введение в теорию вероятностей  8.2. Экспериментальная вероятность  8.3. Теоретическая вероятность  8.4. Вероятность простых событий  8.5. Дополнительные программы  8.6. Вероятность смешанных событий

Класс 10 → Системы чисел → Действительные числа ↓


Рациональные и иррациональные числа


В области математики числа играют существенную роль. Они формируют основу для понимания концепций и решения задач, которые помогают нам ориентироваться в мире. Две самые важные категории внутри чисел — это рациональные числа и иррациональные числа. Вместе они составляют группу действительных чисел. Понимание этих концепций может дать вам более глубокое понимание того, как работают числа.

Понимание действительных чисел

Действительные числа — это все числа, которые вы можете встретить в повседневной жизни. К ним относятся:

  • целые числа
  • Целые числа
  • Различные
  • Десятичные дроби

Линия действительных чисел подобна огромному океану. Ее границы начинаются с чисел, которые вам знакомы, таких как ноль и один. Но по мере того как вы уезжаете дальше, вы находите как рациональные, так и иррациональные числа. Давайте разберемся подробнее.

Рациональные числа

Рациональные числа — это числа, которые можно выразить в виде дробей, где и числитель, и знаменатель являются целыми числами, а знаменатель не равен нулю. Проще говоря, если вы можете записать число в виде a/b, где a и b — целые числа, а b ≠ 0, то это рациональное число.

Примеры: 1/2, -3/4, 5, 0.75, -7 Непримеры: 3/0 (знаменатель не может быть нулем)

Визуальные примеры рациональных чисел

Рассмотрите линию чисел, где каждая точка соответствует действительному числу. Ниже представлена упрощенная версия, которую вы можете визуализировать:

0 1 2 1/2 3/2

Каждая точка на линии чисел, которая соответствует дробному значению с целым числителем и ненулевым целым знаменателем, может считаться рациональной.

Десятичные числа как рациональные числа

Рациональные числа включают все числа, которые могут быть представлены в десятичной форме. Если десятичное число имеет повторяющуюся или конечную последовательность, оно является рациональным. Это означает, что оно либо заканчивается после некоторого количества цифр, либо повторяет одну и ту же группу цифр бесконечно.

Примеры конечных десятичных дробей: 0.5, 1.25, -3.75 Примеры повторяющихся десятичных дробей: 0.333..., 2.666..., -12.1212... Непример (иррациональное число): 0.1010010001... (нет повторяющейся закономерности)

Иррациональные числа

В отличие от рациональных чисел, иррациональные числа не могут быть записаны в виде простых дробей. Их десятичное расширение продолжается бесконечно без повторения. Они представляют величины, которые не могут быть точно рассчитаны как отношение двух целых чисел.

Примеры иррациональных чисел

  • √2 (квадратный корень из 2)
  • π (пи)
  • e (число Эйлера)

Эти числа часто встречаются в геометрии, математическом анализе и других продвинутых областях математики.

Иллюстрация иррациональных чисел

Как и рациональные числа, иррациональные числа также можно визуализировать на линии чисел. Однако они не попадут точно на фракционные точки:

√2 π

Обратите внимание, что точки, такие как √2 или π (которые находятся примерно на 1.414 и 3.141 соответственно), не эквивалентны никаким простым дробям.

Примеры из реальной жизни

Рациональные и иррациональные числа не только теоретические; они также имеют практическое применение.

Рациональные числа в жизни

Такие вещи, как деление торта между друзьями, измерение чашки муки или даже расстояние, пройденное в гонке, часто приводят к рациональным числам. Это простые ситуации, когда вы можете выразить величины в виде дробей или целыми числами.

Иррациональные числа в жизни

Иррациональные числа также имеют свое место. Рассмотрите длину окружности кругов, которая часто включает π при расчете периметра. Также диагональные длины в квадратных областях часто приводят к значениям, содержащим квадратные корни, такими как √2 при попытке найти диагональ квадрата 1x1.

Преобразование между формами

Существует много случаев, когда вы можете попытаться преобразовать повторяющееся десятичное число в дробь или определить иррациональное число, такое как √50, в более простую форму.

Из десятичного в дробь

Например, повторяющееся десятичное число 0.666... может быть преобразовано в дробь:

Пусть x = 0.666... 10x = 6.666... Вычесть: 10x - x = 6.666... - 0.666... 9x = 6 x = 6/9 = 2/3

Признание простых иррациональных форм

Зная, что √50 может быть упрощено:

√50 = √(25 * 2) = √25 * √2 = 5√2

Резюме

В резюме, действительные числа охватывают как рациональные, так и иррациональные числа. Рациональные числа, которые можно распознать по их выражению в виде простых дробей и повторяющихся десятичных дробей, обеспечивают ясность в повседневном использовании. В отличие от них, иррациональные числа захватывают величины, которые требуют бесконечной точности, где десятичное расширение не заканчивается и не повторяется. Признание различий и отношений между этими типами дает вам лучшее понимание числовой системы и ее бесконечной красоты.

Изучение этих типов чисел дает нам не только лучшее понимание математики, но и лучшее понимание мира, который математика стремится определить и описать.


Класс 10 → 1.1.2


U
username
0%
завершено в Класс 10

← предыдущая (1.1.1)
Свойства вещественных чисел
следующая (1.1.3) →
Десятичное представление вещественных чисел

комментарии 



Рациональные и иррациональные числа

https://www.buddymath.com/g10/1.1.2?bmal=ru