Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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Números racionales e irracionales


En el campo de las matemáticas, los números juegan un papel esencial. Forman la base para comprender conceptos y resolver problemas que nos ayudan a navegar por el mundo. Las dos categorías más importantes dentro de los números son números racionales y números irracionales. Juntos, forman el grupo de números reales. Comprender estos conceptos puede darte una comprensión más profunda de cómo funcionan los números.

Comprendiendo los números reales

Los números reales son todos los números que podrías encontrar en la vida cotidiana. Estos incluyen:

  • números enteros
  • Enteros
  • Diferente
  • Decimal

La línea de números reales es como un vasto océano. Sus bordes comienzan con los números que conoces, como el cero y el uno. Pero a medida que avanzas, encuentras tanto números racionales como irracionales. Vamos a profundizar.

Números racionales

Los números racionales son números que se pueden expresar como fracciones donde tanto el numerador como el denominador son enteros y el denominador no es cero. En términos simples, si puedes escribir un número en la forma a/b, donde a y b son enteros y b ≠ 0, entonces es un número racional.

Ejemplos: 1/2, -3/4, 5, 0.75, -7 Ejemplo no valido: 3/0 (el denominador no puede ser cero)

Ejemplos visuales de números racionales

Considera una línea numérica donde cada punto corresponde a un número real. A continuación se muestra una versión simplificada que puedes visualizar:

0 1 2 1/2 3/2

Cada punto en la línea de números que corresponde a un valor fraccional con un numerador entero y un denominador entero diferente de cero puede considerarse racional.

Decimales como números racionales

Los números racionales incluyen todos los números que pueden representarse en forma decimal. Si un número decimal tiene una secuencia repetitiva o terminante, es racional. Esto significa que termina después de un cierto número de dígitos o repite el mismo grupo de dígitos indefinidamente.

Ejemplos de decimales terminantes: 0.5, 1.25, -3.75 Ejemplos de decimales repetitivos: 0.333..., 2.666..., -12.1212... Ejemplo no valido (Número Irracional): 0.1010010001... (sin patrón repetitivo)

Números irracionales

A diferencia de los números racionales, los números irracionales no pueden escribirse como fracciones simples. Su expansión decimal continúa para siempre sin repetir. Representan cantidades que no pueden calcularse con precisión como una razón de dos enteros.

Ejemplos de números irracionales

  • √2 (raíz cuadrada de 2)
  • π (pi)
  • e (número de Euler)

Estos números se encuentran a menudo en geometría, cálculo y otras áreas avanzadas de las matemáticas.

Ilustrando números irracionales

Al igual que los números racionales, los números irracionales también pueden visualizarse en la línea de números. Sin embargo, no se ubicarán exactamente en el punto basado en fracciones:

√2 π

Ten en cuenta que puntos como √2 o π (que se encuentran aproximadamente en 1.414 y 3.141, respectivamente) no son equivalentes a ninguna fracción simple.

Ejemplos de la vida real

Los números racionales e irracionales no son solo teóricos; también tienen aplicaciones prácticas.

Números racionales en la vida

Cosas como compartir un pastel entre amigos, medir una taza de harina o incluso la distancia cubierta en una carrera a menudo resultan en números racionales. Estas son situaciones sencillas donde puedes expresar valores como fracciones o números enteros.

Números irracionales en la vida

Los números irracionales también tienen su lugar. Considera la circunferencia de los círculos, que a menudo involucra π al calcular el perímetro. Además, las longitudes diagonales en áreas cuadradas suelen resultar en valores que involucran raíces cuadradas, como √2 al intentar encontrar la diagonal de un cuadrado de 1x1.

Conversión entre formas

Hay muchas instancias en las que puedes intentar convertir un decimal repetitivo en una fracción o identificar un número irracional como √50 en una forma más simple.

De decimal a fracción

Por ejemplo, un decimal recurrente 0.666... puede convertirse en una fracción:

Sea x = 0.666... 10x = 6.666... Resta: 10x - x = 6.666... - 0.666... 9x = 6 x = 6/9 = 2/3

Reconociendo formas irracionales simples

Sabiendo que √50 puede simplificarse:

√50 = √(25 * 2) = √25 * √2 = 5√2

Resumen

Para resumir, los números reales abarcan tanto números racionales como irracionales. Los números racionales, que pueden reconocerse por su expresión como fracciones simples y decimales repetitivos, brindan claridad en usos cotidianos. En contraste, los números irracionales capturan valores que requieren precisión infinita, donde la expansión decimal ni termina ni se repite. Reconocer las diferencias y relaciones entre estos tipos te da una mejor comprensión del sistema numérico y su infinita belleza.

Explorar estos tipos de números nos da no solo una mejor comprensión de las matemáticas, sino también una mejor comprensión del mundo que las matemáticas intentan definir y describir.


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