10º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propriedades dos Números Reais  1.1.2. Números racionais e irracionais  1.1.3. Representação decimal de números reais  1.1.4. Operações com números reais  1.1.5. Números reais na reta numérica  1.2. O lema da divisão de Euclides  1.3. Fatoração de números primos  1.4. Compreendendo o MMC e o MDC em sistemas numéricos  1.5. Expoentes e Radicais  1.5.1. Leis dos expoentes  1.5.2. Simplificação de expressões básicas  1.5.3. Notação científica
  2. Compreendendo Algebra  2.1. Polinômios  2.1.1. Definição e tipos de polinômios  2.1.2. Grau de um polinômio  2.1.3. Zeros de um polinômio  2.1.4. Fatoração de polinômios  2.1.5. Identidades algébricas  2.2. Equações lineares em duas variáveis  2.2.1. Gráficos de equações lineares  2.2.2. Soluções de equações lineares  2.2.3. Aplicação de equações lineares em problemas de palavras  2.3. Entendendo Equações Quadráticas  2.3.1. Forma padrão de equação quadrática  2.3.2. Métodos para resolver equações quadráticas  2.3.2.1. Método de fatoração  2.3.2.2. Método de completar o quadrado  2.3.2.3. Fórmula quadrática  2.3.3. Compreendendo a natureza das raízes em equações quadráticas  2.4. Entendendo progressões aritméticas  2.4.1. Definição de progressão aritmética  2.4.2. Termo geral da Progressão Aritmética (PA)  2.4.3. A soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética  2.5. Introdução às funções  2.5.1. Definição e tipos de funções  2.5.2. Domínio e imagem  2.5.3. Estrutura dos trabalhos  2.5.4. Inverso de uma função
  3. Geometria coordenada  3.1. Introdução ao sistema cartesiano em geometria coordenada  3.2. Fórmula da distância  3.3. Fórmula da seção  3.4. Área de um triângulo  3.5. Inclinação da linha  3.6. Equação de uma linha em geometria coordenada  3.6.1. Forma de inclinação-interceptação  3.6.2. Introdução à forma ponto-inclinação  3.6.3. Forma de dois pontos  3.6.4. Forma de interceptação  3.6.5. Forma geral da linha
  4. Trigonometria  4.1. Razões trigonométricas  4.1.1. Sen, cosseno, tangente e seus inversos  4.1.2. Compreendendo os valores das razões trigonométricas em ângulos específicos  4.2. Identidades Trigonométricas  4.3. Relações trigonométricas de ângulos complementares  4.4. Alturas e distâncias  4.4.1. Compreendendo ângulos de elevação e depressão  4.4.2. Aplicações em problemas da vida real
  5. Geometria  5.1. Triângulo  5.1.1. Congruência de triângulos  5.1.2. Critérios de conformidade  5.1.3. Propriedades dos triângulos  5.2. Compreendendo similaridade na geometria  5.2.1. Compreendendo formas semelhantes na geometria  5.2.2. Critérios de semelhança  5.2.3. Similaridade de triângulos  5.2.4. Aplicações do paralelismo na vida real  5.3. Compreendendo círculos na geometria  5.3.1. Propriedades do círculo  5.3.2. Tangente a um círculo  5.3.3. Número de tangentes a partir de um ponto  5.3.4. Ângulo subtendido pelo arco  5.4. Construções em geometria  5.4.1. Construção de triângulos semelhantes  5.4.2. Tangente a um círculo  5.4.3. Construção de uma bissetriz de ângulo
  6. Mensuração  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de um Triângulo  6.1.2. Compreendendo a área de um paralelogramo  6.1.3. Área do trapézio  6.1.4. Compreendendo a área de um losango  6.2. Área de superfície e volume  6.2.1. Área de superfície de cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.2. Área de superfície do cone e esfera  6.2.3. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  6.2.4. Volume de cone e esfera  6.3. Conversão de unidades  6.4. Tronco de cone
  7. Figuras  7.1. Introdução à estatística  7.2. Coleta de dados  7.3. Apresentação de dados  7.3.1. Forma Tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: Uma ferramenta para representação gráfica em estatística  7.3.2.3. Polígono de frequência  7.3.2.4. Ogiva  7.4. Medidas de tendência central  7.4.1. Média, mediana e moda  7.4.2. Compreendendo Quartis e Percentis  7.5. Medidas de dispersão  7.5.1. Alcance e intervalo interquartil  7.5.2. Desvio Padrão e Variância
  8. Possibilidade  8.1. Introdução à Probabilidade  8.2. Probabilidade experimental  8.3. Probabilidade teórica  8.4. Probabilidade de eventos simples  8.5. Programas Complementares  8.6. Probabilidade de eventos mistos

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Propriedades dos Números Reais


Os números reais formam uma ampla categoria no sistema numérico, que inclui números naturais, números inteiros, números racionais e números irracionais. Entender as propriedades dos números reais ajuda a simplificar expressões e resolver equações de maneira eficiente. Nesta lição, exploraremos várias propriedades dos números reais com muitos exemplos e explicações.

1. Bens permutáveis

A propriedade comutativa afirma que mudar a ordem dos números em uma operação de adição ou multiplicação não altera o resultado.

1.1 Propriedade comutativa da adição

a + b = b + a

Exemplo:

  • Se a = 5 e b = 3, então 5 + 3 = 3 + 5, ambos iguais a 8.
5 + 3 = 3 + 5

1.2 Propriedade comutativa da multiplicação

a * b = b * a

Exemplo:

  • Se a = 4 e b = 6, então 4 * 6 = 6 * 4, ambos iguais a 24.
4 * 6 = 6 * 4

2. Propriedade associativa

A propriedade associativa mostra que a forma como os números são agrupados em uma operação de adição ou multiplicação não afeta sua soma ou produto.

2.1 Propriedade associativa da adição

(a + b) + c = a + (b + c)

Exemplo:

  • Se a = 2, b = 4, e c = 6, então (2 + 4) + 6 = 2 + (4 + 6), ambos resultam em 12.
(2 + 4) + 6 = 2 + (4 + 6)

2.2 Propriedade associativa da multiplicação

(a * b) * c = a * (b * c)

Exemplo:

  • Se a = 3, b = 5, e c = 2, então (3 * 5) * 2 = 3 * (5 * 2), ambos calculam para 30.
(3 * 5) * 2 = 3 * (5 * 2)

3. Propriedade distributiva

A propriedade distributiva conecta adição e multiplicação. Afirma que o número multiplicado pela soma de dois números é igual à soma dos produtos desse número por cada número.

a * (b + c) = a * b + a * c

Exemplo:

  • Se a = 2, b = 3, e c = 4, então 2 * (3 + 4) = 2 * 3 + 2 * 4, ambos darão o resultado 14.
2 * (3 + 4) = 2 * 3 + 2 * 4

4. Propriedade da identidade

A propriedade da identidade da adição afirma que ao adicionar zero a qualquer número real, ele permanece inalterado. Da mesma forma, a propriedade da identidade da multiplicação afirma que qualquer número real permanece inalterado ao ser multiplicado por um.

4.1 Propriedade da identidade da adição

a + 0 = a

Exemplo:

  • Se a = 7, então 7 + 0 = 7.
7 + 0 = 7

4.2 Propriedade da identidade da multiplicação

a * 1 = a

Exemplo:

  • Se a = 5, então 5 * 1 = 5.
5 * 1 = 5

5. Propriedade inversa

A propriedade inversa afirma que somar qualquer número ao seu inverso aditivo (oposto) resulta em zero, e multiplicar qualquer número pelo seu inverso multiplicativo (inverso) resulta em um.

5.1 Inverso aditivo

a + (-a) = 0

Exemplo:

  • Se a = 9, então 9 + (-9) = 0.
9 + (-9) = 0

5.2 Inversos multiplicativos

a * (1/a) = 1

(assume-se que a ≠ 0)

Exemplo:

  • Se a = 8, então 8 * (1/8) = 1.
8 * (1/8) = 1

6. Propriedade de fechamento

A propriedade de fechamento mostra que realizar uma operação em dois números de um conjunto sempre resulta em um número dentro do mesmo conjunto. Os números reais são fechados sob adição, multiplicação e subtração, mas não sob divisão.

6.1 Propriedade de fechamento da adição

Se a e b são números reais, então a + b também é um número real.

a ∈ R, b ∈ R ⇒ a + b ∈ R

6.2 Propriedade de fechamento da multiplicação

Se a e b são números reais, então a * b também é um número real.

a ∈ R, b ∈ R ⇒ a * b ∈ R

7. Exemplos adicionais e ideias

Entender essas propriedades é importante para resolver expressões algébricas de forma eficiente. Considere outro exemplo da propriedade associativa:

Exemplo de propriedade associativa

Vamos considerar a = 1, b = 2, e c = 3.

Usando a propriedade associativa da adição:

  • (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6
  • 1 + (2 + 3) = 1 + 5 = 6

Exemplo de bens permutáveis

Para a propriedade comutativa da multiplicação:

  • Se a = 10 e b = 4, então 10 * 4 e 4 * 10, ambos iguais a 40.

Entender essas propriedades ajuda a simplificar equações complexas antes de realizar cálculos longos. Nosso objetivo é montar fórmulas e simplificar expressões polinomiais usando essas propriedades.

Conclusão

As propriedades dos números reais são um aspecto fundamental da matemática, ajudando-nos a entender e manipular números de maneira eficaz. Desde operações básicas até a solução de equações complexas, essas propriedades são ferramentas inestimáveis que simplificam cálculos e permitem uma compreensão mais profunda dos conceitos matemáticos. Memorize as propriedades principais: comutativa, associativa, distributiva, identidade, inversa e fechamento. Dominar essas propriedades pode ajudar os alunos a enfrentar com confiança vários problemas matemáticos e equações que encontrarem durante sua jornada acadêmica.


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