Grado 10
  1. Sistemas numéricos  1.1. Número real  1.1.1. Propiedades de los Números Reales  1.1.2. Números racionales e irracionales  1.1.3. Representación decimal de números reales  1.1.4. Operaciones con números reales  1.1.5. Números reales en la recta numérica  1.2. El lema de la división de Euclides  1.3. Factorización Prima  1.4. Comprender el MCM y el MCD en los sistemas numéricos  1.5. Exponentes y Radicales  1.5.1. Leyes de los exponentes  1.5.2. Simplificación de expresiones básicas  1.5.3. Notación científica
  2. Entendiendo el álgebra  2.1. Polinomios  2.1.1. Definición y tipos de polinomios  2.1.2. Grado de un polinomio  2.1.3. Ceros de un polinomio  2.1.4. Factorización de polinomios  2.1.5. Identidades algebraicas  2.2. Ecuaciones lineales en dos variables  2.2.1. Gráficas de ecuaciones lineales  2.2.2. Soluciones de ecuaciones lineales  2.2.3. Aplicación de ecuaciones lineales en problemas de palabras  2.3. Comprendiendo las ecuaciones cuadráticas  2.3.1. Forma estándar de la ecuación cuadrática  2.3.2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas  2.3.2.1. Método de factorización  2.3.2.2. Método de completar el cuadrado  2.3.2.3. Fórmula cuadrática  2.3.3. Comprendiendo la naturaleza de las raíces en las ecuaciones cuadráticas  2.4. Comprendiendo las progresiones aritméticas  2.4.1. Definición de progresión aritmética  2.4.2. Término general de la progresión aritmética (PA)  2.4.3. La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética  2.5. Introducción a las funciones  2.5.1. Definición y tipos de funciones  2.5.2. Dominio y rango  2.5.3. Estructura de los trabajos  2.5.4. Inverso de una función
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Introducción al sistema cartesiano en geometría de coordenadas  3.2. Fórmula de distancia  3.3. Fórmula de la sección  3.4. Área de un triángulo  3.5. Pendiente de la línea  3.6. Ecuación de una línea en geometría coordinada  3.6.1. Forma de pendiente-intersección  3.6.2. Introducción a la forma punto-pendiente  3.6.3. Forma de dos puntos  3.6.4. Forma de intersección  3.6.5. Forma general de la línea
  4. Trigonometría  4.1. Relaciones trigonométricas  4.1.1. Seno, coseno, tangente y sus inversos  4.1.2. Comprender los valores de las razones trigonométricas en ángulos específicos  4.2. Identidades trigonométricas  4.3. Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios  4.4. Alturas y distancias  4.4.1. Comprender los ángulos de elevación y depresión  4.4.2. Aplicaciones en problemas de la vida real
  5. Geometría  5.1. Triángulo  5.1.1. Congruencia de triángulos  5.1.2. Criterios de conformidad  5.1.3. Propiedades de los triángulos  5.2. Entendiendo la similitud en geometría  5.2.1. Entendiendo formas similares en geometría  5.2.2. Criterios de similitud  5.2.3. Similitud de triángulos  5.2.4. Aplicaciones del paralelismo en la vida real  5.3. Comprensión de los círculos en geometría  5.3.1. Propiedades del círculo  5.3.2. Tangente a un círculo  5.3.3. Número de tangentes desde un punto  5.3.4. Ángulo subtendido por el arco  5.4. Construcciones en geometría  5.4.1. Construcción de triángulos similares  5.4.2. Tangente a un círculo  5.4.3. Construcción de una bisectriz de ángulo
  6. Mensuración  6.1. Área de figuras planas  6.1.1. Área de un Triángulo  6.1.2. Comprendiendo el área de un paralelogramo  6.1.3. Área del trapecio  6.1.4. Comprendiendo el área de un rombo  6.2. Área de superficie y volumen  6.2.1. Área superficial de cubo, cuboide y cilindro  6.2.2. Área de superficie de cono y esfera  6.2.3. Volumen de un cubo, un cuboide y un cilindro  6.2.4. Volumen de cono y esfera  6.3. Conversión de unidades  6.4. Tronco de un cono
  7. Figuras  7.1. Introducción a la estadística  7.2. Colección de datos  7.3. Presentación de datos  7.3.1. Forma tabular  7.3.2. Forma gráfica  7.3.2.1. Gráfico de barras  7.3.2.2. Histograma: una herramienta para la representación gráfica en estadísticas  7.3.2.3. Polígono de frecuencias  7.3.2.4. Ojiva  7.4. Medidas de tendencia central  7.4.1. Media, mediana y moda  7.4.2. Comprendiendo cuartiles y percentiles  7.5. Medidas de dispersión  7.5.1. Rango y rango intercuartil  7.5.2. Desviación estándar y varianza
  8. Posibilidad  8.1. Introducción a la Probabilidad  8.2. Probabilidad experimental  8.3. Probabilidad teórica  8.4. Probabilidad de eventos simples  8.5. Programas complementarios  8.6. Probabilidad de eventos mixtos

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Propiedades de los Números Reales


Los números reales forman una categoría amplia en el sistema numérico, que incluye números naturales, números enteros, números racionales y números irracionales. Comprender las propiedades de los números reales ayuda a simplificar expresiones y resolver ecuaciones de manera eficiente. En esta lección, exploraremos varias propiedades de los números reales con muchos ejemplos y explicaciones.

1. Activos permutables

La propiedad conmutativa establece que cambiar el orden de los números en una operación de suma o multiplicación no cambia el resultado.

1.1 Propiedad conmutativa de la suma

a + b = b + a

Ejemplo:

  • Si a = 5 y b = 3, entonces 5 + 3 = 3 + 5 que ambos son iguales a 8.
5 + 3 = 3 + 5

1.2 Propiedad conmutativa de la multiplicación

a * b = b * a

Ejemplo:

  • Si a = 4 y b = 6, entonces 4 * 6 = 6 * 4 que ambos son iguales a 24.
4 * 6 = 6 * 4

2. Propiedad asociativa

La propiedad asociativa muestra que la forma en que se agrupan los números en una operación de suma o multiplicación no afecta su suma o producto.

2.1 Propiedad asociativa de la suma

(a + b) + c = a + (b + c)

Ejemplo:

  • Si a = 2, b = 4, y c = 6, entonces (2 + 4) + 6 = 2 + (4 + 6) ambos dan el resultado 12.
(2 + 4) + 6 = 2 + (4 + 6)

2.2 Propiedad asociativa de la multiplicación

(a * b) * c = a * (b * c)

Ejemplo:

  • Si a = 3, b = 5, y c = 2, entonces (3 * 5) * 2 = 3 * (5 * 2) que ambos calculan a 30.
(3 * 5) * 2 = 3 * (5 * 2)

3. Propiedad distributiva

La propiedad distributiva conecta la suma y la multiplicación. Establece que el número multiplicado por la suma de dos números es igual a la suma de los productos de ese número y cada número.

a * (b + c) = a * b + a * c

Ejemplo:

  • Si a = 2, b = 3, y c = 4, entonces 2 * (3 + 4) = 2 * 3 + 2 * 4 ambos darán el resultado 14.
2 * (3 + 4) = 2 * 3 + 2 * 4

4. Propiedad de identidad

La propiedad de identidad de la suma establece que cuando sumas cero a cualquier número real, permanece sin cambios. De manera similar, la propiedad de identidad de la multiplicación establece que cualquier número real permanece sin cambios cuando lo multiplicas por uno.

4.1 Propiedad de identidad de la suma

a + 0 = a

Ejemplo:

  • Si a = 7, entonces 7 + 0 = 7.
7 + 0 = 7

4.2 Propiedad de identidad de la multiplicación

a * 1 = a

Ejemplo:

  • Si a = 5, entonces 5 * 1 = 5.
5 * 1 = 5

5. Propiedad inversa

La propiedad inversa establece que sumar cualquier número a su inverso aditivo (opuesto) da cero, y multiplicar cualquier número por su inverso multiplicativo (inverso) da uno.

5.1 Inverso aditivo

a + (-a) = 0

Ejemplo:

  • Si a = 9, entonces 9 + (-9) = 0.
9 + (-9) = 0

5.2 Inverso multiplicativo

a * (1/a) = 1

(suponga que a ≠ 0)

Ejemplo:

  • Si a = 8, entonces 8 * (1/8) = 1.
8 * (1/8) = 1

6. Activos de cierre

La propiedad de cierre muestra que realizar una operación en cualquier dos números de un conjunto siempre produce un número dentro del mismo conjunto. Los números reales están cerrados bajo suma, multiplicación y resta, pero no bajo división.

6.1 Propiedad de cierre de la suma

Si a y b son números reales, entonces a + b también es un número real.

a ∈ R, b ∈ R ⇒ a + b ∈ R

6.2 Propiedad de cierre de la multiplicación

Si a y b son números reales, entonces a * b también es un número real.

a ∈ R, b ∈ R ⇒ a * b ∈ R

7. Ejemplos adicionales e ideas

Entender estas propiedades es importante para resolver expresiones algebraicas de manera eficiente. Considera otro ejemplo para la propiedad asociativa:

Ejemplo de propiedad asociativa

Tomemos a = 1, b = 2, y c = 3.

Usando la propiedad asociativa de la suma:

  • (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6
  • 1 + (2 + 3) = 1 + 5 = 6

Ejemplo de activos permutables

Para la propiedad conmutativa de la multiplicación:

  • Si a = 10 y b = 4, entonces 10 * 4 y 4 * 10 ambos son iguales a 40.

Entender estas propiedades ayuda a simplificar ecuaciones complejas antes de realizar cálculos prolongados. Nuestro objetivo es establecer fórmulas y simplificar expresiones polinómicas utilizando estas propiedades.

Conclusión

Las propiedades de los números reales son un aspecto fundamental de las matemáticas, que nos ayudan a comprender y manipular los números de manera efectiva. Desde operaciones básicas hasta la resolución de ecuaciones complejas, estas propiedades son herramientas invaluables que simplifican cálculos y permiten una comprensión más profunda de los conceptos matemáticos. Memoriza las propiedades clave: conmutativa, asociativa, distributiva, identidad, inversa y cierre. Dominar estas propiedades puede ayudar a los estudiantes a abordar con confianza diversos problemas y ecuaciones matemáticas que encuentren durante su trayectoria académica.


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