मात्राओं की तुलना में अनुपात और समानुपात को समझना

गणित में, मात्राओं की तुलना करने से हमें अपने आसपास की दुनिया को समझने में मदद मिलती है। यह हमें मात्राओं के बीच संबंधों को निर्धारित करने, इन संबंधों को सरल रूप से व्यक्त करने और वास्तविक समस्या को अधिक कुशलतापूर्वक हल करने की अनुमति देता है। दो मौलिक अवधारणाएं जो इसमें मदद करती हैं वे हैं अनुपात और समानुपात।

अनुपात क्या है?

अनुपात दो या दो से अधिक मात्राओं की तुलना करने का एक तरीका है, जिसमें विभाजन का उपयोग किया जाता है। यह बताता है कि एक वस्तु की तुलना दूसरी वस्तु से कितनी है। अनुपात को अलग-अलग रूपों में व्यक्त किया जा सकता है: "से" शब्द का उपयोग करके, कोलन के साथ, या एक भिन्न के रूप में।

उदाहरण के लिए, 4 सेब और 2 संतरे की तुलना करने के लिए, हम लिख सकते हैं:

• 4 से 2
• 4:2
• 4/2

ये सभी संकेत एक ही अनुपात को व्यक्त करते हैं। अनुपातों को भी भिन्नों की तरह सरल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अनुपात 4:2 को इनके महत्तम सामान्य भाजक (GCD) से दोनों संख्याओं को विभाजित करके सरल किया जा सकता है। इस मामले में, GCD 2 है, इसलिए सरल अनुपात 2:1 है।

दृश्य उदाहरण

नीचे रंगीन वृत्तों के साथ परिदृश्य पर विचार करें:

यहां हम लाल वृत्तों की नीले वृत्तों से तुलना कर रहे हैं। 2 लाल वृत्त और 3 नीले वृत्त हैं। लाल वृत्तों और नीले वृत्तों का अनुपात लिखा जाता है 2:3।

विभिन्न प्रकार के अनुपात

यह ध्यान देने योग्य है कि एक अनुपात में दो से अधिक मात्राएं शामिल हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास एक थैली है जिसमें 4 लाल गेंदें, 5 हरी गेंदें, और 7 नीली गेंदें हैं, तो लाल, हरी और नीली गेंदों का अनुपात 4:5:7 है।

समानुपात के गुण

• अनुपात आमतौर पर अपने सरलतम रूप में व्यक्त किए जाते हैं।
• क्रम एक अनुपात में महत्व रखता है; 2:3 समान नहीं है 3:2 के।
• अनुपातों की कोई इकाइयाँ नहीं होतीं; वे एक-दूसरे से तुलनात्मक होती हैं।

समानुपात क्या है?

समानुपात एक समीकरण है जो बताता है कि दो अनुपात बराबर हैं। अनुपातों का उपयोग उन समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है जहां हमें मात्राओं की तुलना करते समय अनुपात में अज्ञात पद ढूंढने की आवश्यकता होती है। यदि दो अनुपात a:bऔरc:d बराबर हैं, तो उन्हें समानुपाती कहा जाता है। इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

a:b = c:d
या 
a/b = c/d

यह निर्धारित करने के लिए कि दो अनुपात समानुपात बनाते हैं, आप पदों को क्रॉस-मल्टिप्लाई कर सकते हैं और सत्यापित कर सकते हैं कि क्रॉस-प्रोडक्ट्स बराबर हैं। उदाहरण के लिए:

2/3 = 4/6

क्रॉस-मल्टिप्लाई करके, हमें मिलता है:

2 × 6 = 3 × 4

यदि हम दोनों पक्षों को सरल करते हैं, तो दोनों 12 के बराबर होंगे, इसलिए अनुपात समानुपाती होंगे।

उदाहरणों के साथ समानुपात को समझना

कल्पना करें कि आपको एक बाड़े को पेंट करना है और पेंट को एक विशिष्ट अनुपात में मिलाया जाता है, 1 भाग सफेद और 2 भाग हरा। यदि आपके पास 5 भाग सफेद पेंट है, तो आपको कितने भाग हरे पेंट की आवश्यकता है?

अनुपात इस प्रकार लिखे जा सकते हैं:

सफेद/हरा = 1/2 = 5/x

क्रॉस-मल्टिप्लाई करके:

1 × x = 2 × 5

हम पाते हैं कि x = 10। इसलिए, आपको समान अनुपात बनाए रखने के लिए 10 हिस्से हरे रंग की आवश्यकता होगी।

वास्तविक जीवन में अनुपात और समानुपात का उपयोग

1. खाना पकाने की विधि

स्वाद संतुलन बनाए रखने के लिए व्यंजनों में अक्सर अनुपातों का उपयोग किया जाता है। यदि कोई नुस्खा 3:2 अनुपात में चीनी से आटा कहता है और आपके पास 6 कप चीनी है, तो आपको यह पता लगाना होगा कि कितना आटा चाहिए।

चीनी/आटा = 3/2 = 6/x

क्रॉस-मल्टिप्लाई करने पर मिलता है:

3 × x = 2 × 6

सरल करते हुए, x = 4 कप आटा चाहिए।

अभ्यास प्रश्न

1. निर्धारित करें कि अनुपात 8:12 और 2:3 समानुपाती बनाते हैं या नहीं।
2. यदि 9 संतरे $18 लागत करते हैं, तो 15 संतरे कितने लागत करेंगे?
3. एक स्कूल में शिक्षक-विद्यार्थी अनुपात 1:30 है। यदि 450 छात्र हैं, तो वहां कितने शिक्षक हैं?
4. एक नुस्खे में आटा और चीनी का अनुपात 4:1 है। यदि आपके पास 12 कप आटा है, तो कितनी चीनी चाहिए?

समाधान

1. अनुपात की जाँच:

8:12 = 2:3
क्रॉस-मल्टिप्लाई: 8 × 3 == 12 × 2
24 = 24 (सत्य, तो वे अनुपात बनाते हैं)

2.

9/18 = 15/x
क्रॉस-मल्टिप्लाई: 9x = 15 × 18
9x = 270
x = 30
तो, 15 संतरे $30 लागत करते हैं।

3.

1/30 = x/450
क्रॉस-मल्टिप्लाई: 1 × 450 = 30x
450 = 30x
x = 15
वहां 15 शिक्षक हैं।

4.

4/1 = 12/x
क्रॉस-मल्टिप्लिकेशन: 4x = 12 × 1
4x = 12
x = 3
आपको 3 कप चीनी की आवश्यकता है।

सारांश

निष्कर्ष में, अनुपात और समानुपात गणित में अनिवार्य अवधारणाएं हैं जो हमें मात्राओं की तुलना करने और दिए गए जानकारी के आधार पर अज्ञात मान खोजने की अनुमति देती हैं। इन अवधारणाओं को समझने से असली दुनिया की समस्याओं को सरल और हल करने में मदद मिलती है, जिससे चीजों के बीच के संबंधों को समझना आसान हो जाता है। अभ्यास और विभिन्न उदाहरणों को समझने से हमारी इन अवधारणाओं को प्रभावी ढंग से उपयोग करने की क्षमता बढ़ती है।

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