Comprender la razón y la proporción en la comparación de cantidades

En matemáticas, comparar cantidades nos ayuda a entender el mundo que nos rodea. Nos permite determinar relaciones entre cantidades, expresar estas relaciones de manera simple y resolver problemas de la vida real de manera más eficiente. Dos conceptos fundamentales que ayudan con esto son la razón y la proporción.

¿Qué es la razón?

Una razón es una forma de comparar dos o más cantidades usando la división. Nos dice cuánto de una cosa se compara con otra. Una razón puede expresarse en diferentes formas: usando la palabra "a", con dos puntos o como una fracción.

Por ejemplo, para comparar 4 manzanas y 2 naranjas, podemos escribir:

• 4 a 2
• 4:2
• 4/2

Todas estas notaciones expresan la misma razón. Las razones también pueden simplificarse al igual que las fracciones. Por ejemplo, la razón 4:2 puede simplificarse dividiendo ambos números por su máximo común divisor (MCD). En este caso, el MCD es 2, por lo que la razón simplificada es 2:1.

Ejemplo visual

Considera el escenario con los círculos de colores a continuación:

Aquí estamos comparando círculos rojos con círculos azules. Hay 2 círculos rojos y 3 círculos azules. La razón entre círculos rojos y azules se escribe 2:3.

Diferentes tipos de razones

Es importante notar que una razón puede involucrar más de dos cantidades. Por ejemplo, si tenemos una bolsa que contiene 4 bolas rojas, 5 bolas verdes y 7 bolas azules, entonces la razón de bolas rojas, verdes y azules es 4:5:7.

Propiedades de la proporción

• Las razones generalmente se expresan en su forma más sencilla.
• El orden importa en una razón; 2:3 no es lo mismo que 3:2.
• Las razones no tienen unidades; son comparaciones relativas entre sí.

¿Qué es la proporción?

Una proporción es una ecuación que establece que dos razones son iguales. Las razones se usan para resolver problemas donde necesitamos encontrar el término faltante en una razón al comparar cantidades. Si dos razones a:b y c:d son iguales, entonces se dice que son proporcionales. Se escribe como:

a:b = c:d
O 
a/b = c/d

Para determinar si dos razones forman una proporción, puedes multiplicar cruzadamente los términos y verificar si los productos cruzados son iguales. Por ejemplo:

2/3 = 4/6

Al multiplicar cruzadamente, obtenemos:

2 × 6 = 3 × 4

Si simplificamos ambos lados, ambos serán iguales a 12, por lo que las razones serán proporcionales.

Comprender la proporción con ejemplos

Imagina que necesitas pintar una cerca y la pintura se mezcla en una proporción específica, 1 parte blanca y 2 partes verde. Si tienes 5 partes de pintura blanca, ¿cuánta pintura verde necesitas?

Las razones se pueden escribir de la siguiente manera:

blanco/verde = 1/2 = 5/x

Multiplicando cruzadamente:

1 × x = 2 × 5

Encontramos que x = 10. Por lo tanto, necesitarás 10 partes de verde para mantener la misma proporción.

Uso de la razón y la proporción en la vida real

1. Método de cocina

Las razones se usan a menudo en recetas para mantener el equilibrio de sabor. Si una receta requiere una proporción de 3:2 de azúcar a harina y tienes 6 tazas de azúcar, necesitas averiguar cuánta harina se necesita.

azúcar/harina = 3/2 = 6/x

Multiplicando cruzadamente obtenemos:

3 × x = 2 × 6

Simplificando, x = 4 tazas de harina necesarias.

Problemas de práctica

1. Determina si las razones 8:12 y 2:3 forman una proporción.
2. Si 9 naranjas cuestan $18, ¿cuánto costarán 15 naranjas?
3. La proporción de profesor-alumno en una escuela es 1:30. Si hay 450 estudiantes, ¿cuántos profesores hay?
4. La proporción de harina y azúcar en una receta es 4:1. Si tienes 12 tazas de harina, ¿cuánta azúcar necesitas?

Solución

1. Comprobando la proporción:

8:12 = 2:3
Multiplicando cruzadamente: 8 × 3 == 12 × 2
24 = 24 (Verdadero, por lo que forman una proporción)

2.

9/18 = 15/x
Multiplicando cruzadamente: 9x = 15 × 18
9x = 270
x = 30
Por lo tanto, 15 naranjas cuestan $30.

3.

1/30 = x/450
Multiplicando cruzadamente: 1 × 450 = 30x
450 = 30x
x = 15
Hay 15 profesores.

4.

4/1 = 12/x
Multiplicación cruzada: 4x = 12 × 1
4x = 12
x = 3
Necesitas 3 tazas de azúcar.

Resumen

En conclusión, la razón y la proporción son conceptos esenciales en matemáticas que nos permiten comparar cantidades y encontrar valores desconocidos basados en información dada. Comprender estos conceptos ayuda a simplificar y resolver problemas del mundo real, facilitando la comprensión de las relaciones entre las cosas. Practicar y familiarizarse con diferentes ejemplos aumenta nuestra capacidad para aplicar estos conceptos de manera efectiva.

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