रैखिक ग्राफ

परिचय

गणित में, ग्राफ का उपयोग डेटा, समीकरणों और विभिन्न प्रकार के संबंधों को प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है। विशेष रूप से, रैखिक ग्राफ रैखिक समीकरणों को चित्रित करने वाले ग्राफ होते हैं। रैखिक समीकरण, अपने सरलतम रूप में, निर्देशांक प्रणाली में एक सीधी रेखा का वर्णन करता है। 'रैखिक' शब्द लैटिन शब्द 'लिनियरिस' से आया है, जिसका अर्थ है रेखाओं से संबंधित।

रैखिक ग्राफ क्या हैं?

रैखिक ग्राफ रैखिक समीकरण का एक ग्राफिक प्रस्तुति होता है। रैखिक समीकरण निम्नलिखित प्रकार के बीजगणितीय समीकरण होते हैं:

 y = mx + c

इस समीकरण में, y और x चर होते हैं, m रेखा की ढलान होती है, और c वाई-अवरोध होता है, जो वह बिंदु होता है जहाँ रेखा वाई-अक्ष को प्रतिच्छेद करती है।

रेखा का समीकरण

समीकरण y = mx + c को समझना रैखिक ग्राफ बनाने और उनकी व्याख्या करने के लिए महत्वपूर्ण है। इस समीकरण का प्रत्येक भाग आपको रेखा के बारे में कुछ बताता है:

• m (ढलान): ढलान आपको बताती है कि रेखा कितनी तीव्र है। इसे 'वृद्धि' पर 'चलान', या रेखा पर दो अलग-अलग बिंदुओं के बीच वाई में परिवर्तन पर x में परिवर्तन के रूप में गणना की जाती है।
• c (वाई-अवरोध): वाई-अवरोध वह वाई-निर्देशांक है जहाँ रेखा वाई-अक्ष को प्रतिच्छेद करती है (जहाँ x = 0)।

रैखिक समीकरण को ग्राफ पर अंकित करना

आप निम्नलिखित चरणों का पालन करके एक रैखिक ग्राफ बना सकते हैं:

1. रैखिक समीकरण से ढलान (m) और वाई-अवरोध (c) की पहचान करें।
2. ग्राफ पर वाई-अवरोध अंकित करें।
3. ढलान का उपयोग करके रेखा पर एक और बिंदु निर्धारित करें।
4. इन बिंदुओं के माध्यम से और दोनों दिशाओं में अनिश्चित रूप से विस्तारित एक रेखा खींचें।

दृश्य उदाहरण

उदाहरण 1: सरल रेखा ग्राफ

रेखा का समीकरण पर विचार करें:

 y = 2x + 3

यहाँ, ढलान m 2 है और वाई-अवरोध c 3 है। इसे अंकित करें:

    वाई-अवरोध के लिए (0, 3) अंकित करें,
    ढलान के आधार पर एक और बिंदु अंकित करने के लिए 2 इकाइयाँ ऊपर और 1 इकाई दाईं ओर जाएँ। 

उदाहरण 2: क्षैतिज रेखा

रेखा के समीकरण पर विचार करें:

 y = 4

यह वाई-अक्ष को 4 पर काटने वाली क्षैतिज रेखा प्रस्तुत करता है।

उदाहरण 3: लंबवत रेखा

रेखा के समीकरण पर विचार करें:

 x = -2

यह x-अक्ष को -2 पर प्रतिच्छेद करने वाली लंबवत रेखा प्रस्तुत करता है।

ढलान को समझना

रेखा की ढलान हमें बताती है कि रेखा कैसे ऊपर या नीचे जाती है। यहाँ विभिन्न प्रकार की ढलानें हैं जिन्हें आप देख सकते हैं:

• सकारात्मक ढलान: एक रेखा जो बाएँ से दाएँ की ओर बढ़ती है। उदाहरण: कोई भी रेखा जिसके पास m > 0 है।
• नकारात्मक ढलान: एक रेखा जो बाएँ से दाएँ गिरती है, अर्थात् m < 0।
• शून्य ढलान: एक क्षैतिज रेखा जहाँ m = 0। उदाहरण: y = 4।
• अपरिभाषित ढलान: एक लंबवत रेखा जिसके लिए ढलान अपरिभाषित है। उदाहरण: x = -2।

ढलान गणना

रेखा पर दो बिंदुओं के बीच की ढलान ज्ञात करने के लिए आप निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

 M = (y2 - y1) / (x2 - x1)

जहाँ (x1, y1) और (x2, y2) रेखा पर दो अलग-अलग बिंदु होते हैं।

ढलान की गणना का उदाहरण

रेखागणितीय बिंदुओं (1, 2) और (3, 6) से गुजरने वाली रेखा की ढलान ज्ञात करें।

    m = (6 - 2) / (3 - 1)
    m = 4 / 2
    m = 2

रेखा की ढलान 2 है।

रैखिक संतुलनों की ग्राफिकल विशेषताएँ

रैखिक ग्राफ में अद्वितीय गुण होते हैं जो उन्हें गैररैखिक ग्राफ से अलग करते हैं:

• रैखिक चित्रांकन सीधे, बिना-वक्र रेखाएँ बनाते हैं।
• उनकी एक स्थिर ढलान होती है; यह एकरूपता x-मूल्यों में एकरूप वृद्धि के साथ एक स्थिर परिवर्तन इंगित करती है।
• रैखिक ग्राफ का डोमेन आमतौर पर सभी वास्तविक संख्याएँ होती हैं (जो ग्राफ को x-अक्ष पर अनंत तक विस्तारित करने की अनुमति देता है), जब तक कि विशेष समस्या के संदर्भ में अन्यथा प्रतिबंधित न हो।

रैखिक आरेखों का अनुप्रयोग

रैखिक आरेखों का विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक उपयोग होता है क्योंकि वे सीधे संबंधों को सरलता और स्पष्टता से प्रदर्शित करते हैं:

• कंप्यूटर ग्राफिक्स: वस्तुओं को रेंडर करने के लिए 2डी और 3डी स्थान को मॉडल करने के लिए रैखिक बीजगणित का उपयोग किया जाता है।
• भौतिकी: सरल, समरूप गति की दरों की गणना में प्रयोग किया जाता है।
• अर्थशास्त्र: लागत विश्लेषण, आपूर्ति-मांग संबंधों का निर्धारण, और लाभों को अनुकूलित करने में।
• सांख्यिकी: प्रतिगमन रेखाएँ, डेटा मॉडल में चर के बीच संबंध दिखाने के इरादे से।

बीजगणितीय रूप से रैखिक ग्राफ का प्रतिनिधित्व करना

ग्राफ दृश्य व्याख्या प्रदान करते हैं, लेकिन रैखिक समीकरणों के साथ काम करने के लिए बीजगणित एक अन्य प्रमुख तरीका है। यहाँ मुख्य बीजगणितीय रूप हैं:

1. ढलान-अवरोध रूप: y = mx + c, ढलान और वाई-अवरोध को जल्दी पहचानने के लिए उपयोगी।
2. मानक रूप: Ax + By = C; रेखाओं की जांच करने के लिए गणनाओं को सुविधाजनक बनाता है कि वे समानांतर या लंबवत संबंध में हैं या नहीं।
3. बिंदु-ढलान रूप: y - y1 = m(x - x1), उन स्थितियों के लिए उत्कृष्ट जहाँ आप किसी रेखा की ढलान और रेखा पर एक बिंदु जानते हैं।

उदाहरण: रूपों के बीच परिवर्तन करना

y = 2x + 3 को मानक रूप में बदलें:

    y – 2x = 3
    -1 से गुणा करें: -y + 2x = -3
    व्यवस्था करें: 2x – y = -3

मानक रूप है 2x - y = -3।

रैखिक समीकरणों का समाधान करना

समाधान में सभी संभावित (x, y) युग्मों को खोजना शामिल है जो दिए गए रैखिक समीकरण को संतुष्ट करते हैं:

y = 2x - 1 का समाधान करने के लिए:

1. मान x में मान प्रतिस्थापित करते हैं और संबंधित y मान पाते हैं।
2. उदाहरण: यदि x = 0 है, तो y = (2*0) - 1 = -1।
3. अगर x = 1 है, तो y = (2*1) - 1 = 1।
4. समझने के लिए जितना आवश्यक हो उतना अन्वेषण करते रहें।

सारांश

रैखिक ग्राफ के इस विस्तृत अन्वेषण में, हमने रैखिक समीकरण की मूल अवधारणा और इसे रैखिक ग्राफ के माध्यम से ग्राफिकल रूप से कैसे दर्शाया जाता है, को कवर किया है। हमने y = mx + c रूप, इसके घटकों, और रैखिक समीकरणों को ग्राफ और हेरफेर करने के विभिन्न तरीकों का अन्वेषण किया है।

इसके अलावा, रेखा के अंकगणितीय अभिव्यक्ति का पहचानना हमें वास्तविक दुनिया की समस्याओं को प्रभावी ढंग से हल करने में मदद करता है, और ग्राफिकल प्रतिनिधित्व में विशेषज्ञता विभिन्न क्षेत्रों में बेहतर व्याख्यात्मक कौशल की ओर ले जा सकती है, जो रैखिक संबंधों पर बहुत अधिक निर्भर करती हैं।

टिप्पणियाँ