Класс 8 → Координированная геометрия ↓
Расстояние между точками
В этой теме мы узнаем, как вычислить расстояние между двумя точками на плоскости с использованием координатной геометрии. Понимание того, как найти это расстояние, является важной концепцией в математике, часто встречающейся в реальных ситуациях, таких как навигация и картография.
Понимание координат
Для начала давайте рассмотрим координатную систему. На двумерной плоскости каждая точка обозначается упорядоченной парой чисел, обычно записывается как (x, y). Первое число x представляет горизонтальное положение, а второе число y - вертикальное положение.
Координатная плоскость имеет две перпендикулярные линии, называемые осями: ось x (горизонтальная) и ось y (вертикальная). Эти оси пересекаются в точке, называемой началом координат, которая обозначается (0, 0).
Формула расстояния
Расстояние между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2) можно рассчитать, используя формулу расстояния, которая выводится из теоремы Пифагора.
Формула расстояния
D = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)
Давайте разберем эту формулу:
(x2 - x1)- это разница горизонтальных положений (x-координат) двух точек.(y2 - y1)- это разница вертикальных положений (y-координат) двух точек.- Мы возводим эти разницы в квадрат, складываем их и затем извлекаем квадратный корень из суммы, чтобы найти расстояние.
Вывод формулы расстояния
Чтобы понять, откуда берется эта формула, мы можем использовать теорему Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (сторона, противоположная прямому углу) равен сумме квадратов других двух сторон.
Представим треугольник, где:
- Горизонтальная сторона
(x2 - x1)(разница в x-координатах). - Вертикальная сторона
(y2 - y1)(разница в y-координате).
Гипотенуза этого треугольника представляет расстояние между двумя точками. Применяя теорему Пифагора, получаем:
c² = a² + b²,
Где:
c = Расстояние (d),
a = (x2 - x1),
b = (y2 - y1).
Из этого выводим формулу:
d² = (x2 – x1)² + (y2 – y1)²
=> D = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)
Визуализация концепции
Посмотрим на визуальное представление того, как вычислить расстояние между двумя точками с использованием формулы. Предположим, что у нас есть две точки A и B с координатами A(x1, y1) и B(x2, y2).
На этом диаграмме черная линия между A и B представляет расстояние, которое мы хотим вычислить.
Пример расчета
Давайте рассчитаем расстояние между точками A(1, 2) и B(4, 6) с использованием формулы расстояния:
дано:
Точка A (x1, y1) = (1, 2)
Точка B (x2, y2) = (4, 6)
Расстояние, d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)
= √((4 - 1)² + (6 - 2)²)
= √(3² + 4²)
= √(9 + 16)
= √25
= 5
Таким образом, расстояние между этими двумя точками составляет 5 единиц.
Больше примеров
Давайте рассмотрим еще несколько сценариев, чтобы укрепить наше понимание:
Пример 1
Найдите расстояние между точками C(2, 3) и D(5, 7).
дано:
Точка C (x1, y1) = (2, 3)
Точка D (x2, y2) = (5, 7)
Расстояние, d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)
= √((5 - 2)² + (7 - 3)²)
= √(3² + 4²)
= √(9 + 16)
= √25
= 5
Расстояние составляет 5 единиц.
Пример 2
Найдите расстояние между точками E(-3, -5) и F(1, 2).
дано:
Точка E (x1, y1) = (-3, -5)
Точка F (x2, y2) = (1, 2)
Расстояние, d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)
= √((1 - (-3))² + (2 - (-5))²)
= √((1 + 3)² + (2 + 5)²)
= √(4² + 7²)
= √(16 + 49)
= √65
≈ 8.06
Расстояние примерно 8.06 единиц.
Особые случаи
Горизонтальные и вертикальные линии
Когда две точки лежат на горизонтальной или вертикальной линии, формула расстояния становится простой.
Горизонтальная линия
Если точки имеют одинаковую y координату, расстояние будет просто разностью x-координат.
Например, для точек G(3, 4) и H(7, 4):
Расстояние, d = √((x2 - x1)²)
= |x2 - x1|
= |7 - 3|
= 4
Расстояние составляет 4 единицы, так как они лежат на горизонтальной линии.
Вертикальная линия
Если x координаты точек одинаковы, расстояние будет просто разностью y-координат.
Например, для точек I(6, 1) и J(6, 5):
Расстояние, d = √((y2 - y1)²)
= |y2 - y1|
= |5 - 1|
= 4
Расстояние составляет 4 единицы, так как они лежат на вертикальной линии.
Применения формулы расстояния
Формулы расстояния широко используются не только в математике, но и в различных областях, таких как физика, инженерия, компьютерная графика и навигация. Вот несколько примеров:
География и картография
В навигации и картографии формула расстояния помогает определить кратчайший путь между двумя географическими точками. Это может быть важно для определения маршрутов, планирования логистики или местоположения сервисов.
Компьютерная графика
В компьютерной графике вычисление расстояния между двумя точками является основой для визуализации и моделирования сред. Это позволяет обнаруживать столкновения, создавать реалистичные тени и поддерживать пропорции сцены.
Физика
Физика часто опирается на вычисление расстояния для понимания движения и сил. Расстояние между двумя точками во времени важно для анализа скорости, ускорения и ускорения.
Заключение
Вычисление расстояния между двумя точками на координатной плоскости является фундаментальным инструментом в математике. Если вы работаете в чисто математическом контексте или применяете его к реальным задачам, знание того, как использовать формулу расстояния, может сделать вашу работу проще и яснее.
Практика этого концепта через примеры и упражнения углубляет понимание и способность применять его эффективно в различных ситуациях. Чем больше кто-то занимается этими расчетами, тем интуитивнее и непосредственнее они становятся.
комментарии