点と点の間の距離

このトピックでは、座標幾何を使用して平面上で2点間の距離を計算する方法を学びます。この距離を求める方法を理解することは、数学において重要な概念であり、ナビゲーションや地図作成などの現実の状況でよく遭遇します。

座標の理解

まず、座標系を見直してみましょう。二次元平面では、各点は通常(x, y)と書かれる数の順序付けられたペアで識別されます。最初の番号xは水平位置を表し、2番目の番号yは垂直位置を表します。

座標平面には軸と呼ばれる2本の垂直な線があります：x軸（水平）およびy軸（垂直）。これらの軸は、(0, 0)で示される原点と呼ばれる点で交差します。

距離の公式

2点(x1, y1)と(x2, y2)の間の距離は、ピタゴラスの定理から導出された距離の公式を使用して計算できます。

D = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)
    

この公式を分解してみましょう:

• (x2 - x1)は、2点の水平方向の位置（x座標）の差です。
• (y2 - y1)は、2点の垂直方向の位置（y座標）の差です。
• これらの差を2乗し、それらを合計してから、その合計の平方根を取って距離を求めます。

距離公式の導出

この公式がどこから来たのかを理解するために、直角三角形で、直角に対する辺の平方は他の二つの辺の平方の和に等しいとするピタゴラスの定理を使用できます。

次のような直角三角形を想像してください:

• 水平側は(x2 - x1)（x座標の差）です。
• 垂直側は(y2 - y1)（y座標の差）です。

この三角形の斜辺は、2点間の距離を表します。ピタゴラスの定理を適用すると、次のようになります:

c² = a² + b²,
Where:
c = Distance (d),
a = (x2 - x1),
b = (y2 - y1).
    

これから公式を得ることができます:

d² = (x2 – x1)² + (y2 – y1)² 
=> D = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)
    

概念の視覚化

2点間の距離を公式を使って計算する方法の視覚的な表現を見てみましょう。座標がA(x1, y1)とB(x2, y2)の2点AとBがあるとします。

この図では、AとBの間の黒い線が計算したい距離を表しています。

計算例

距離の公式を使用してA(1, 2)とB(4, 6)の点間の距離を計算してみましょう:

given:
Point A (x1, y1) = (1, 2)
Point B (x2, y2) = (4, 6)

Distance, d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)
           = √((4 - 1)² + (6 - 2)²)
           = √(3² + 4²)
           = √(9 + 16)
           = √25
           = 5
    

したがって、2点間の距離は5単位です。

さらなる例

いくつかのシナリオを見て、理解を深めましょう:

given:
The point C (x1, y1) = (2, 3)
Point D (x2, y2) = (5, 7)

Distance, d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)
           = √((5 - 2)² + (7 - 3)²)
           = √(3² + 4²)
           = √(9 + 16)
           = √25
           = 5
    

given:
The point E (x1, y1) = (-3, -5)
The point F (x2, y2) = (1, 2)

Distance, d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)
           = √((1 - (-3))² + (2 - (-5))²
           = √((1 + 3)² + (2 + 5)²)
           = √(4² + 7²)
           = √(16 + 49)
           = √65
           ≈ 8.06
    

特別な場合

水平線および垂直線

2点が水平線または垂直線上にある場合、距離の公式は簡単になります。

Distance, d = √((x2 - x1)²)
           = |x2 - x1|
           = |7 - 3|
           = 4
    

Distance, d = √((y2 - y1)²)
           = |y2 - y1|
           = |5 - 1|
           = 4
    

距離の公式の適用

距離の公式は、数学だけでなく物理学、工学、コンピュータグラフィックス、ナビゲーションなどのさまざまな分野で広く使用されています。以下はその例の一部です:

地理と地図作成

ナビゲーションと地図作成において、距離の公式は、2つの地理的ポイント間の最短経路を決定するのに役立ちます。これはルートの決定、物流の計画やサービスの位置特定に重要です。

コンピュータグラフィックス

コンピュータグラフィックスにおいて、2点間の距離を計算することは、環境をレンダリングおよびシミュレーションするための基本です。これにより、衝突の検出、現実的な影の生成、シーンのプロポーションの維持が可能になります。

物理

物理学はしばしば運動や力を理解するために距離の計算に依存します。時間に対する2点間の距離は、速度、速さ、加速度を分析する際に重要です。

結論

座標平面上の2点間の距離を計算することは、数学の基本的なツールです。純粋に数学的な文脈で作業しているか、実世界の問題に適用しているかにかかわらず、距離の公式を使用方法を知っていると、作業が簡単で明確になります。

この概念を例や演習を通じて実践することで、さまざまなシナリオで効果的に適用する能力と理解が深まります。これらの計算に携わるほど、それらは直感的で即時のものになります。

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