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बिंदुओं के बीच दूरी
इस विषय में, हम समन्वय ज्यामिति का उपयोग करके प्लेन में दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना कैसे करें, सीखेंगे। इस दूरी को कैसे ढूंढे इसकी समझ गणित में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है, जिसे अक्सर वास्तविक दुनिया के परिदृश्यों जैसे मार्गदर्शन और मानचित्रण में सामना किया जाता है।
समन्वय की समझ
शुरू करने के लिए, चलिए समन्वय प्रणाली की समीक्षा करते हैं। एक द्वि-आयामी प्लेन में, प्रत्येक बिंदु को संख्याओं की एक क्रमांकित जोड़ी द्वारा पहचाना जाता है, जिसे आमतौर पर (x, y) के रूप में लिखा जाता है। पहली संख्या x क्षैतिज स्थिति का प्रतिनिधित्व करती है, और दूसरी संख्या y ऊर्ध्वाधर स्थिति का प्रतिनिधित्व करती है।
समन्वय प्लेन में दो लंबवत रेखाएँ होती हैं जिन्हें इसे एक्सिस कहते हैं: x-एक्सिस (क्षैतिज) और y-एक्सिस (ऊर्ध्वाधर)। ये अक्ष एक बिंदु पर मिलते हैं जिसे मूलबिंदु (origin) कहा जाता है, जिसे (0, 0) द्वारा सूचित किया जाता है।
दूरी सूत्र
दो बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) के बीच की दूरी को दूरी फार्मूला का उपयोग करके गणना की जा सकती है, जो पाइथागोरस के प्रमेय से व्युत्पन्न है।
दूरी फार्मूला
D = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)
चलो इस सूत्र को तोड़ते हैं:
(x2 - x1)दो बिंदुओं के क्षैतिज स्थितियों (x-समन्वयों) का अंतर है।(y2 - y1)दो बिंदुओं के ऊर्ध्वाधर स्थितियों (y-समन्वयों) का अंतर है।- हम इन अंतरों को वर्ग करते हैं, उन को जोड़ते हैं, और फिर दूरी को खोजने के लिए योग का वर्गमूल लेते हैं।
दूरी फार्मूला की उत्पत्ति
यह समझने के लिए कि यह सूत्र कहाँ से आता है, हम पाइथागोरस के प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं, जो कहता है कि एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण (समकोण के विपरीत भुजा) का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
कल्पना करें कि एक समकोण त्रिभुज है जहां:
- क्षैतिज भुजा
(x2 - x1)है (x-समन्वयों का अंतर)। - ऊर्ध्वाधर भुजा
(y2 - y1)है (y-समन्यवाद का अंतर)।
इस त्रिभुज का कर्ण उन दो बिंदुओं के बीच की दूरी का प्रतिनिधित्व करता है। पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर, हमें मिलता है:
c² = a² + b², जहां: c = दूरी (d), a = (x2 - x1), b = (y2 - y1).
इससे, हमें फार्मूला मिलता है:
d² = (x2 – x1)² + (y2 – y1)² => D = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)
संकल्पना का दृश्यांकन
चलो यह देखें कि कैसे फार्मूला का उपयोग करके दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना की जाती है। मानते हैं कि हमारे पास दो बिंदु A और B हैं जिनके समन्वय A(x1, y1) और B(x2, y2) हैं।
इस आरेख में, A और B के बीच की काली रेखा वह दूरी दर्शाती है जिसे हम गणना करना चाहते हैं।
उदाहरण गणना
चलो बिंदुओं A(1, 2) और B(4, 6) के बीच की दूरी का गणना करें दूरी फार्मूला का उपयोग करके:
दिया गया: बिंदु A (x1, y1) = (1, 2) बिंदु B (x2, y2) = (4, 6) दूरी, d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = √((4 - 1)² + (6 - 2)²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
अतः, दो बिंदुओं के बीच की दूरी 5 इकाइयों की है।
अधिक उदाहरण
चलो कुछ और परिदृश्यों को देखें ताकि हमारी समझ मजबूत हो सके:
उदाहरण 1
बिंदुओं C(2, 3) और D(5, 7) के बीच की दूरी खोजें।
दिया गया: बिंदु C (x1, y1) = (2, 3) बिंदु D (x2, y2) = (5, 7) दूरी, d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = √((5 - 2)² + (7 - 3)²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
दूरी 5 इकाइयाँ है।
उदाहरण 2
बिंदुओं E(-3, -5) और F(1, 2) के बीच की दूरी खोजें।
दिया गया: बिंदु E (x1, y1) = (-3, -5) बिंदु F (x2, y2) = (1, 2) दूरी, d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = √((1 - (-3))² + (2 - (-5))²) = √((1 + 3)² + (2 + 5)²) = √(4² + 7²) = √(16 + 49) = √65 ≈ 8.06
दूरी लगभग 8.06 इकाइयाँ है।
विशेष मामले
क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाएँ
जब दो बिंदु क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर रेखा पर होते हैं, तो दूरी फार्मूला सरल हो जाता है।
क्षैतिज रेखा
अगर बिंदुओं के समान y समन्वय हैं, तो दूरी बस x-समन्वयों का अंतर होगा।
उदाहरण के लिए, बिंदुओं G(3, 4) और H(7, 4) के लिए:
दूरी, d = √((x2 - x1)²) = |x2 - x1| = |7 - 3| = 4
दूरी 4 इकाइयाँ है, क्योंकि वे क्षैतिज रेखा पर स्थित हैं।
ऊर्ध्वाधर रेखा
अगर बिंदुओं के x समन्वय समान हैं, तो दूरी बस y-समन्वयों का अंतर होगा।
उदाहरण के लिए, बिंदुओं I(6, 1) और J(6, 5) के लिए:
दूरी, d = √((y2 - y1)²) = |y2 - y1| = |5 - 1| = 4
दूरी 4 इकाइयाँ है, क्योंकि वे ऊर्ध्वाधर रेखा पर स्थित हैं।
दूरी फार्मूला के अनुप्रयोग
दूरी फार्मूले का उपयोग न केवल गणित में होता है बल्कि भौतिकी, इंजीनियरिंग, कंप्यूटर ग्राफिक्स, और नेविगेशन जैसे विभिन्न क्षेत्रों में भी होता है। यहाँ कुछ उदाहरण हैं:
भूगोल और मानचित्रण
नेविगेशन और मानचित्रण में, दूरी फार्मूला दो भौगोलिक बिंदुओं के बीच सबसे छोटा रास्ता निर्धारित करने में मदद करता है। यह मार्ग निर्धारित करने, स्थापना योजना बनाने, या सेवाओं का पता लगाने के लिए महत्वपूर्ण हो सकता है।
कंप्यूटर ग्राफिक्स
कंप्यूटर ग्राफिक्स में, दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करना वातावरण को प्रस्तुत करने और अनुकरण करने में महत्वपूर्ण होता है। यह टकराव का पता लगाने, यथार्थवादी छायाओं का निर्माण और दृश्य अनुपात बनाए रखने की अनुमति देता है।
भौतिकी
भौतिकी में अक्सर गति और बलों को समझने के लिए दूरी की गणना की आवश्यकता होती है। समय के साथ दो बिंदुओं के बीच की दूरी गति, वेग, और त्वरण के विश्लेषण में महत्वपूर्ण होती है।
निष्कर्ष
कोऑर्डिनेट प्लेन पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करना गणित का एक मूलभूत उपकरण है। चाहे आप विशुद्ध रूप से गणितीय संदर्भों में काम कर रहे हों या इसे वास्तविक समस्याओं पर लागू कर रहे हों, दूरी फार्मूला का उपयोग कैसे करना है, यह जानना आपके काम को सरल और स्पष्ट बना सकता है।
उदाहरणों और अभ्यासों के माध्यम से इस अवधारणा का अभ्यास करने से किसी की समझ में गहराई आती है और विभिन्न परिदृश्यों में इसे प्रभावी ढंग से लागू करने की क्षमता होती है। जितना अधिक कोई इन गणनाओं में संलग्न होता है, उतना ही सहज और तत्काल वे बन जाते हैं।
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