Grado 8 → Geometría coordinada ↓
Distancia entre puntos
En este tema, aprenderemos cómo calcular la distancia entre dos puntos en el plano utilizando geometría de coordenadas. Entender cómo encontrar esta distancia es un concepto importante en matemáticas, que se encuentra a menudo en escenarios del mundo real, como la navegación y la cartografía.
Entender coordenadas
Para comenzar, revisemos el sistema de coordenadas. En un plano bidimensional, cada punto se identifica por un par ordenado de números, generalmente escrito como (x, y). El primer número x representa la posición horizontal, y el segundo número y representa la posición vertical.
El plano de coordenadas tiene dos líneas perpendiculares llamadas ejes: el eje x (horizontal) y el eje y (vertical). Estos ejes se intersectan en un punto llamado el origen, que se denota por (0, 0).
Fórmula de distancia
La distancia entre dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) se puede calcular usando la fórmula de distancia, que se deriva del teorema de Pitágoras.
Fórmula de distancia
D = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)
Desglosamos esta fórmula:
(x2 - x1)es la diferencia de las posiciones horizontales (coordenadas x) de los dos puntos.(y2 - y1)es la diferencia de las posiciones verticales (coordenadas y) de los dos puntos.- Cuadramos estas diferencias, las sumamos y luego tomamos la raíz cuadrada de la suma para encontrar la distancia.
Derivando la fórmula de la distancia
Para entender de dónde viene esta fórmula, podemos usar el Teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
Imagina un triángulo rectángulo donde:
- El lado horizontal es
(x2 - x1)(diferencia en coordenadas x). - El lado vertical es
(y2 - y1)(la diferencia en la coordenada y).
La hipotenusa de este triángulo representa la distancia entre los dos puntos. Aplicando el teorema de Pitágoras, obtenemos:
c² = a² + b²,
Donde:
c = Distancia (d),
a = (x2 - x1),
b = (y2 - y1).
A partir de esto, obtenemos la fórmula:
d² = (x2 – x1)² + (y2 – y1)²
=> D = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)
Visualizar el concepto
Veamos una representación visual de cómo calcular la distancia entre dos puntos usando una fórmula. Supongamos que tenemos dos puntos A y B con coordenadas A(x1, y1) y B(x2, y2).
En este diagrama, la línea negra entre A y B representa la distancia que queremos calcular.
Cálculo de ejemplo
Calculemos la distancia entre los puntos A(1, 2) y B(4, 6) usando la fórmula de distancia:
dado:
Punto A (x1, y1) = (1, 2)
Punto B (x2, y2) = (4, 6)
Distancia, d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)
= √((4 - 1)² + (6 - 2)²)
= √(3² + 4²)
= √(9 + 16)
= √25
= 5
Por lo tanto, la distancia entre los dos puntos es de 5 unidades.
Más ejemplos
Veamos algunos escenarios más para fortalecer nuestra comprensión:
Ejemplo 1
Encuentra la distancia entre los puntos C(2, 3) y D(5, 7).
dado:
El punto C (x1, y1) = (2, 3)
Punto D (x2, y2) = (5, 7)
Distancia, d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)
= √((5 - 2)² + (7 - 3)²)
= √(3² + 4²)
= √(9 + 16)
= √25
= 5
La distancia es de 5 unidades.
Ejemplo 2
Encuentra la distancia entre los puntos E(-3, -5) y F(1, 2).
dado:
El punto E (x1, y1) = (-3, -5)
El punto F (x2, y2) = (1, 2)
Distancia, d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)
= √((1 - (-3))² + (2 - (-5))²
= √((1 + 3)² + (2 + 5)²)
= √(4² + 7²)
= √(16 + 49)
= √65
≈ 8.06
La distancia es aproximadamente 8.06 unidades.
Casos especiales
Líneas horizontales y verticales
Cuando dos puntos se encuentran en una línea horizontal o vertical, la fórmula de la distancia se simplifica.
Línea horizontal
Si los puntos tienen la misma coordenada y, la distancia será simplemente la diferencia en las coordenadas x.
Por ejemplo, para los puntos G(3, 4) y H(7, 4):
Distancia, d = √((x2 - x1)²)
= |x2 - x1|
= |7 - 3|
= 4
La distancia es de 4 unidades, ya que se encuentran en una línea horizontal.
Línea vertical
Si las coordenadas x de los puntos son las mismas, la distancia será simplemente la diferencia de las coordenadas y.
Por ejemplo, para los puntos I(6, 1) y J(6, 5):
Distancia, d = √((y2 - y1)²)
= |y2 - y1|
= |5 - 1|
= 4
La distancia es de 4 unidades, ya que se encuentran en una línea vertical.
Aplicaciones de la fórmula de distancia
Las fórmulas de distancia se utilizan ampliamente no solo en matemáticas, sino también en varios campos como la física, ingeniería, gráficos por computadora y navegación. Aquí hay algunos ejemplos:
Geografía y cartografía
En navegación y cartografía, la fórmula de distancia ayuda a determinar el camino más corto entre dos puntos geográficos. Esto puede ser importante para determinar rutas, planificar la logística o localizar servicios.
Gráficos por computadora
En gráficos por computadora, calcular la distancia entre dos puntos es fundamental para renderizar y simular entornos. Permite detectar colisiones, crear sombras realistas y mantener las proporciones de la escena.
Física
La física a menudo se basa en el cálculo de la distancia para comprender el movimiento y las fuerzas. La distancia entre dos puntos a lo largo del tiempo es importante en el análisis de la velocidad, la velocidad y la aceleración.
Conclusión
Calcular la distancia entre dos puntos en el plano de coordenadas es una herramienta fundamental en matemáticas. Ya sea que estés trabajando en contextos puramente matemáticos o aplicándolo a problemas del mundo real, saber cómo usar la fórmula de distancia puede hacer tu trabajo más simple y claro.
Practicar este concepto a través de ejemplos y ejercicios profundiza el entendimiento y la capacidad de aplicarlo de manera efectiva en diferentes escenarios. Cuanto más se involucra uno en estos cálculos, más intuitivos e inmediatos se vuelven.
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