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कार्टेशियन तल
कार्टेशियन तल निर्देशांक ज्यामिति में एक मौलिक अवधारणा है, जो गणित का एक आवश्यक हिस्सा है। यह एक द्वि-आयामी तल है जो एक ऊर्ध्वाधर रेखा y-अक्ष और एक क्षैतिज रेखा x-अक्ष के अवरोधन द्वारा बनता है। ये दोनों अक्ष तल को चार चतुर्भुजों में विभाजित करते हैं। कार्टेशियन तल पर प्रत्येक बिंदु को संख्यात्मक निर्देशों की एक जोड़ी द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है, जो दो अवरोधक, लम्बवत अक्षों से बिंदु तक की दूरियाँ होती हैं।
अक्षों की समझ
कार्टेशियन तल दो संख्यात्मक रेखाओं से बना होता है जो एक-दूसरे के लम्बवत चलती हैं:
- x-अक्ष (क्षैतिज रेखा): एक रेखा जो बाएँ से दाएँ फैलती है। सकारात्मक संख्याएँ उत्पत्ति के दाएँ होती हैं, और नकारात्मक संख्याएँ बाएँ।
- y-अक्ष (ऊर्ध्वाधर रेखा): एक रेखा जो ऊपर से नीचे जाती है। सकारात्मक संख्याएँ उत्पत्ति के ऊपर होती हैं, जबकि नकारात्मक संख्याएँ नीचे।
निर्देशांक
तल पर हर बिंदु को दो संख्याओं की जोड़ी में दर्शाया जाता है: (x, y)। यहाँ, x y-अक्ष से दूरी है, और y x-अक्ष से दूरी है। इन संख्याओं को निर्देशांक कहा जाता है। गणित में, इन्हें क्रमश: x-निर्देशांक या अभिसिद्ध और y-निर्देशांक या आधिसिद्ध कहा जाता है।
उदाहरण के लिए, बिंदु (3, 2) y-अक्ष के 3 इकाई दाएँ और x-अक्ष के 2 इकाई ऊपर होता है। विपरीत दिशा में, बिंदु (-4, -3) y-अक्ष के 4 इकाई बाएँ और x-अक्ष के 2 इकाई ऊपर होता है। यह अक्ष के 3 इकाई नीचे स्थित होता है।
चार चतुर्थांश
कार्टेशियन तल चार चतुर्थांशों में विभाजित होता है:
- चतुर्थांश I: दोनों
xऔरyनिर्देशांक सकारात्मक होते हैं। उदाहरण:(3, 4) - चतुर्थांश II:
xनकारात्मक है, औरyसकारात्मक है। उदाहरण:(-3, 4) - चतुर्थांश III: दोनों
xऔरyनिर्देशांक नकारात्मक होते हैं। उदाहरण:(-3, -4) - चौथा चतुर्थांश:
xसकारात्मक है, औरyनकारात्मक है। उदाहरण:(3, -4)
कार्टेशियन तल पर बिंदु चित्रण
कार्टेशियन तल पर एक बिंदु अंकित करने के लिए, आप उत्पत्ति (0,0) से शुरू करते हैं। फिर, बिंदु के x मान तक क्षैतिज रूप से जायें और y मान तक ऊर्ध्वाधर रूप से जायें।
आइए बिंदु (4, 3) अंकित करें:
- उत्पत्ति पर शुरू करें
(0,0)। - x-अक्ष के साथ 4 इकाई दाएँ चलें।
- y-अक्ष के साथ 3 इकाई ऊपर चलें।
उत्पत्ति
x-अक्ष और y-अक्ष का अवरोधन बिंदु उत्पत्ति कहलाता है। इसके निर्देशांक (0, 0) होते हैं। उत्पत्ति तल के सभी अन्य बिंदुओं के लिए संदर्भ बिंदु है।
कार्टेशियन तल के अनुप्रयोग
कार्टेशियन तल का कई व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं, दैनिक जीवन में और उन्नत विज्ञान में भी।
गणित
गणित में, कार्टेशियन तल का उपयोग समीकरणों को देखने और सुलझाने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक सीधी रेखा का समीकरण y = mx + b को कार्टेशियन तल पर ग्राफ किया जा सकता है, जहाँ m ढलान है और b y-अक्ष के अवरोधन का लम्बवत होता है।
वास्तविक जीवन के उदाहरण
- भूगोल: अक्षांश और देशांतर का उपयोग करके स्थानों की मानचित्रण।
- वास्तुकला: सटीक आयामों के साथ भवनों और संरचनाओं का डिजाइन करना।
- पथ प्रदर्शन: GPS प्रणाली स्थिति को दर्शाने के लिए निर्देशांक ज्यामिति का उपयोग करती हैं।
कार्टेशियन तल पर रेखाएँ और वक्र
कार्टेशियन तल का उपयोग जटिल आकारों को अंकित करने और ज्यामितीय आकृतियों का विश्लेषण करने के लिए भी किया जा सकता है। कुछ निम्नलिखित उदाहरणों पर विचार करें:
रेखीय समीकरण
रेखीय समीकरण जैसे कि y = 2x + 1 को कार्टेशियन तल पर स्पष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है। यहाँ एक ऐसी रेखा का चित्रण है:
वक्र रेखाएँ
सभी समीकरण सीधी रेखाएँ नहीं उत्पन्न करेंगे। वृत्त और परवलय जैसे वक्र भी आमतौर पर कार्टेशियन तल पर दर्शाए जाते हैं।
समस्याओं का समाधान
आइए कार्टेशियन तल का उपयोग करके एक सरल समस्या का समाधान करें।
उदाहरण समस्या
आपको दो बिंदु दिए गए हैं A(3, 4) और B(7, 8)। उन बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा खंड का मध्य बिंदु खोजें।
समाधान
दो बिंदुओं A(x1, y1) और B(x2, y2) के बीच मध्य बिंदु M(x, y) खोजने के लिए सूत्र का प्रयोग करें:
M(x, y) = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें:
M(x, y) = ((3 + 7)/2, (4 + 8)/2) = (5, 6)इस प्रकार, मध्य बिंदु (5, 6) है।
निष्कर्ष
निर्देशांक ज्यामिति का अध्ययन करने वाले किसी भी व्यक्ति के लिए कार्टेशियन तल को समझना महत्वपूर्ण है। तल केवल गणितीय अवधारणाओं को देखने का एक उपकरण नहीं है, बल्कि यह कई व्यावहारिक अनुप्रयोगों में भी आवश्यक है। जैसे-जैसे आप बिंदुओं को अंकित करना और निर्देशांक ग्राफ बनाना सीखेंगे, आपको कार्टेशियन तल को समझने की आवश्यकता होगी। जैसे-जैसे आप संख्याओं को समझने में अधिक सहज होते जाते हैं, आपको कई गणितीय समस्याएँ अधिक सुलभ और सुलझने योग्य लगेंगी।
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