Экспериментальная вероятность

Вероятность — это раздел математики, который занимается вероятностью наступления события. Он отвечает на такие вопросы, как «Каковы шансы выиграть в игре?» или «Насколько вероятно, что завтра пойдет дождь?» В математике вероятность выражается числом от 0 до 1. Вероятность 0 означает, что событие не произойдет, в то время как вероятность 1 означает, что событие точно произойдет.

Что такое экспериментальная вероятность?

Экспериментальная вероятность — это способ определения вероятности события. Вместо того чтобы вычислять, что должно произойти в теории, мы смотрим на то, что на самом деле происходит. Этот тип вероятности основывается на реальных экспериментах или испытаниях. Она определяется проведением события многократно и сбором данных из этих экспериментов. С помощью этого процесса мы можем оценить вероятность различных исходов.

Формула для экспериментальной вероятности проста:

Экспериментальная вероятность = (Количество наступлений события) / (Общее количество испытаний)

Эта формула рассчитывает долю испытаний, в которых произошло конкретное событие. По мере увеличения количества испытаний экспериментальная вероятность приближается к теоретической вероятности.

Проведение эксперимента

Чтобы лучше понять экспериментальную вероятность, рассмотрим простой эксперимент. Допустим, у вас есть шестигранный кубик, и вы хотите найти экспериментальную вероятность получения 4.

1. Бросьте кубик 100 раз.
2. Запишите, сколько раз выпала 4.

Предположим, что после 100 бросков вы выбросили 4 всего 18 раз. Тогда экспериментальная вероятность выбросить 4 рассчитывается следующим образом:

Экспериментальная вероятность = 18/100 = 0.18

Этот результат означает, что на основе вашего эксперимента вероятность получения 4 составляет 0,18. Эта экспериментальная вероятность не точно равна 1/6 или примерно 0.167, что является теоретической вероятностью, потому что эксперимент был проведен только 100 раз, а не бесконечное количество раз.

Пример визуализации: подбрасывание монеты

Распространенным примером для понимания экспериментальной вероятности является подбрасывание монеты. Честная монета имеет две стороны: орел (H) и решка (T). Теоретическая вероятность выпадения орла составляет 0.5. Давайте проведем эксперимент, чтобы найти экспериментальную вероятность выпадения орла.

Предположим, мы подбрасываем монету 50 раз и записываем результаты:

Эта диаграмма показывает результаты подбрасывания монеты 50 раз. Высота каждой полоски показывает, сколько раз выпал орел или решка.

Предположим, у нас выпал орел 28 раз. Используя формулу для экспериментальной вероятности:

Экспериментальная вероятность орла = 28/50 = 0.56

Таким образом, согласно нашему эксперименту, вероятность выпадения орла составляет 0.56, что немного отличается от теоретической вероятности 0.50.

Большое количество испытаний и закон больших чисел

По мере увеличения количества испытаний экспериментальная вероятность должна приближаться к теоретической вероятности. Это явление объясняется «законом больших чисел», который утверждает, что по мере увеличения числа испытаний в эксперименте экспериментальная вероятность события будет приближаться к его теоретической вероятности.

Например, если подбросить монету 1,000 раз, количество выпадений орла, деленное на 1,000, будет очень близким к 0.5. С большим количеством попыток эффект колебаний вероятности уменьшается, что приводит к более точным оценкам вероятности.

Еще один наглядный пример: спиннер

Рассмотрим еще один пример, в котором спиннер разделен на три равные части: красный, синий и зеленый. Спиннер честный, поэтому теоретическая вероятность приземлиться на любой цвет равна:

1/3 ≈ 0.333

Предположим, вы крутите спиннер 60 раз и записываете результаты. Если вы приземлитесь на красный 20 раз, на синий 15 раз, и на зеленый 25 раз, вычислите экспериментальные вероятности.

Экспериментальные вероятности рассчитываются следующим образом:

• Красный: 20/60 = 0.333
• Синий: 15/60 = 0.25
• Зеленый: 25/60 = 0.416

В этом эксперименте мы видим вариации, обусловленные случайностью. Экспериментальная вероятность для красного почти совпадает с теоретическим значением, в то время как синий и зеленый отличаются, подчеркивая роль случайности в небольших выборках.

Использование экспериментальной вероятности для принятия решений

Экспериментальная вероятность не только является инструментом для понимания вероятности, но также помогает в процессах принятия решений. Например, ученые часто используют экспериментальную вероятность для прогнозирования результатов и проверки гипотез в реальных сценариях. Инженеры могут использовать ее для оценки надежности машин, записывая количество сбоев в ходе нескольких тестов.

Как повседневный пример, рассмотрим человека, покупающего лотерейный билет. Проводя эксперименты – покупая множество билетов с течением времени – он может записывать, как часто он выигрывает, и информировать свои будущие решения о покупках на основе экспериментальной вероятности выигрыша.

Ограничения экспериментальной вероятности

Хотя экспериментальная вероятность является ценной, она имеет ограничения. Результаты могут значительно различаться при небольшом количестве испытаний из-за случайности. Предположим, что в некоторых бросках кубиков вы выбросите больше шестерок, чем теоретически ожидалось. Это не меняет теоретической вероятности, но подчеркивает важность размера выборки.

Кроме того, ошибки могут возникать из-за нечестных кубиков или предвзятых методов. Точное представление вероятности зависит от честных и беспристрастных условий.

Заключение

Понимание экспериментальной вероятности приводит к пониманию того, как вероятность оценивается на практике. Через реальные эксперименты становится ясно, что вероятность не всегда точна, а скорее является оценкой. Совпадение между экспериментальными и теоретическими вероятностями может потребовать обширных испытаний, демонстрируя суть закона больших чисел. Несмотря на потенциальные ограничения, экспериментальная вероятность является основным инструментом в математике и практических приложениях, информируя решения и освещая закономерности в случайных событиях.

комментарии