सतह क्षेत्रफल और आयतन का परिचय
इस पाठ में, हम सतह क्षेत्रफल और आयतन की अवधारणाओं का अन्वेषण करेंगे। ये गणित में, विशेष रूप से ज्यामिति के क्षेत्र में, दो महत्वपूर्ण माप हैं। सतह क्षेत्रफल किसी वस्तु की सतह के कुल क्षेत्रफल को दर्शाता है, जबकि आयतन उस वस्तु द्वारा घेरा गया स्थान होता है।
सतह क्षेत्रफल को समझना
सतह क्षेत्रफल एक तीन-आयामी वस्तु की सभी सतहों के क्षेत्रफलों का योग होता है। इसे कुछ सरल उदाहरणों के साथ समझते हैं।
घन का सतह क्षेत्रफल
घन एक तीन-आयामी आकार है जिसमें छह समान वर्गाकार चेहरे होते हैं। यदि वर्ग के प्रत्येक पक्ष की लंबाई a है, तो घन के एक चेहरे का क्षेत्रफल a * a या a 2 होता है।
चूंकि घन में छह चेहरे होते हैं, इसलिए घन का कुल सतह क्षेत्रफल (SA) होता है:
SA = 6 * a 2उदाहरण के लिए, यदि घन के प्रत्येक पक्ष की लंबाई 4 सेमी है, तो सतह क्षेत्रफल होता है:
SA = 6 * 4 2 = 96 सेमी 2आयताकार प्रिज्म का सतह क्षेत्रफल
आयताकार प्रिज्म, जिसे घनाभ भी कहा जाता है, के छह आयताकार चेहरे होते हैं। इसकी लंबाई l, चौड़ाई w और ऊंचाई h होती है। आयताकार प्रिज्म का सतह क्षेत्रफल (SA) निम्नलिखित तरह से पाया जा सकता है:
SA = 2(lw + lh + wh)समझने के लिए यहां एक दृश्य उदाहरण दिया गया है:
उदाहरण के लिए, यदि एक आयताकार प्रिज्म की लंबाई 8 सेमी, चौड़ाई 5 सेमी, और ऊंचाई 10 सेमी है, तो सतह क्षेत्रफल होता है:
SA = 2(8 * 5 + 8 * 10 + 5 * 10) = 2(40 + 80 + 50) = 340 सेमी 2सिलिंडर का सतह क्षेत्रफल
सिलिंडर के दो गोल आधार और एक घुमावदार सतह होती है। आधार के त्रिज्या को r और सिलिंडर की ऊंचाई को h मान लेते हैं। सिलिंडर का सतह क्षेत्रफल (SA) दो आधारों और घुमावदार सतह के क्षेत्रफलों से बना होता है:
SA = 2πr 2 + 2πrhयहां एक सरल, वैचारिक प्रतिनिधित्व है:
उदाहरण के लिए, यदि सिलिंडर का त्रिज्या 3 सेमी और ऊंचाई 7 सेमी है:
SA = 2π(3) 2 + 2π(3)(7) = 2π(9) + 2π(21) = 18π + 42π = 60π सेमी 2नोट: अनुमानित संख्यात्मक परिणामों की गणना के लिए π ≈ 3.14 का उपयोग करें।
आयतन को समझना
आयतन उस स्थान के मापन का एक उपाय है जिसे एक तीन-आयामी वस्तु घेरती है। इसे घनात्मक इकाइयों में व्यक्त किया जाता है।
घन का आयतन
घन का आयतन उसके पक्ष की लंबाई के घन के बराबर होता है। यदि घन का पक्ष a है, तो आयतन (V) होता है:
V = a 3उदाहरण के लिए, यदि प्रत्येक पक्ष 5 सेमी है, तो उसका आयतन:
V = 5 3 = 125 सेमी 3आयताकार प्रिज्म का आयतन
आयताकार प्रिज्म (घनाभ) का आयतन उसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई का गुणनफल होता है। लंबाई l, चौड़ाई w और ऊंचाई h हो, तो आयतन (V) होता है:
V = l * w * hउदाहरण के रूप में, यदि प्रिज्म की लंबाई 10 सेमी, चौड़ाई 4 सेमी, और ऊंचाई 6 सेमी हो, तो उसका आयतन:
V = 10 * 4 * 6 = 240 सेमी 3सिलिंडर का आयतन
सिलिंडर का आयतन उसके आधार के क्षेत्रफल को उसकी ऊंचाई से गुणा करके पाया जाता है। सिलिंडर का आधार एक वृत्त होता है, इसलिए वृत्त का क्षेत्रफल फार्मूला πr 2 का उपयोग करें। इसलिए, सिलिंडर का आयतन (V) होता है:
V = πr 2 hएक उदाहरण लेते हैं जहां त्रिज्या 4 सेमी और ऊंचाई 9 सेमी है:
V = π(4) 2 (9) = π(16)(9) = 144π सेमी 3कस्टम प्रश्न
सतह क्षेत्रफल और आयतन की गणना में निपुण बनने के लिए, इन समस्याओं को हल करने का प्रयास करें:
प्रश्न 1
घन के पक्ष की लंबाई 3 सेमी है। उसका सतह क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात करें।
सतह क्षेत्रफल (SA) = 6 * 3 2 = 54 सेमी 2आयतन (V) = 3 3 = 27 सेमी 3प्रश्न 2
एक आयताकार प्रिज्म की लंबाई 5 सेमी, चौड़ाई 4 सेमी और ऊंचाई 2 सेमी है, तो उसका सतह क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात करें।
सतह क्षेत्रफल (SA) = 2(5 * 4 + 5 * 2 + 4 * 2) = 2(20 + 10 + 8) = 76 सेमी 2आयतन (V) = 5 * 4 * 2 = 40 सेमी 3प्रश्न 3
एक सिलिंडर का त्रिज्या 2 सेमी और ऊंचाई 10 सेमी है। उसका सतह क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात करें (गणना के लिए π ≈ 3.14 का उपयोग करें)।
सतह क्षेत्रफल (SA) = 2π(2) 2 + 2π(2)(10) = 8π + 40π = 48π ≈ 150.72 सेमी 2आयतन (V) = π(2) 2 (10) = 40π ≈ 125.6 सेमी 3निष्कर्ष
हमने विभिन्न तीन-आयामी आकृतियों जैसे घन, आयताकार प्रिज्म, और सिलिंडर के सतह क्षेत्रफल और आयतन को कैसे निकाला जाता है, इस पर चर्चा की है। ये गणनाएं ज्यामितीय गुणधर्मों और गणितीय क्रियाओं जैसे जोड़, गुणा और घातांक की समझ की आवश्यकता होती हैं। विभिन्न उदाहरणों के साथ अभ्यास से सतह क्षेत्रफल और आयतन में शामिल समस्याओं को हल करने की समझ और कौशल में सुधार किया जा सकता है।
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