सिलेंडर

मापन के अध्ययन में, गणित की एक शाखा जो मापन से संबंधित है, एक बेलनाकार आकृति एक त्रि-आयामी आकृति है जिसमें एक घुमावदार सतह और दो समांतर वृत्ताकार आधार होते हैं। सिलेंडर का सतह क्षेत्रफल और आयतन समझना अनगिनत वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों के लिए आवश्यक स्थान की गणना और अनुमान लगाने में महत्वपूर्ण है, जैसे कि टैंकों, जारों और ट्यूबों जैसी वस्तुओं का डिज़ाइन करना।

सिलेंडर समझना

पहले, आइए सिलेंडर को थोड़ा अधिक औपचारिक रूप से परिभाषित करें। सिलेंडर के दो भिन्न भाग होते हैं: वृत्ताकार आधार और घुमावदार सतह। आधार एक जैसे वृत्त होते हैं, जिसका अर्थ है कि वे एक ही आकार और आकार के होते हैं। सिलेंडर की ऊँचाई इन दो वृत्ताकार आधारों के बीच की दूरी है।

सिलेंडर की त्रिज्या का ध्यान रखना भी महत्वपूर्ण है, जिसे हम r से निरूपित करते हैं। त्रिज्या आधार के केंद्र से उसके किनारे तक की दूरी होती है। ऊँचाई को सामान्यतः h से निरूपित किया जाता है। इन तत्वों के साथ हम सिलेंडर का सतह क्षेत्रफल और आयतन दोनों की गणना कर सकते हैं।

सिलेंडर का सतह क्षेत्रफल

सिलेंडर का सतह क्षेत्रफल तीन टुकड़ों से बना होता है: दो वृत्ताकार आधारों का क्षेत्रफल और घुमावदार सतह का क्षेत्रफल। आइए क्रमबद्ध तरीके से कुल सतह क्षेत्रफल खोजें।

वृत्ताकार आधारों का क्षेत्रफल

वृत्त का क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके गणना किया जाता है:

    वृत्त का क्षेत्रफल = πr²

चूंकि सिलेंडर ऐसे दो वृतों से बना होता है, इसके दो आधारों से कुल क्षेत्रफल द्वारा दिया जाता है:

    दो आधारों का क्षेत्रफल = 2 × πr²

घुमावदार सतह का क्षेत्रफल

घुमावदार सतह, जब "विकसित" या "खोला जाता है", एक आयत बनाती है। इस आयत की लंबाई आधार की परिधि (वृत्त) के समान होती है, जो 2πr होती है, और चौड़ाई सिलेंडर की ऊँचाई h होती है।

इसलिए, घुमावदार सतह का क्षेत्रफल है:

    घुमावदार सतह का क्षेत्रफल = 2πr × h

सिलेंडर का कुल सतह क्षेत्रफल

आधारों और घुमावदार सतह के क्षेत्रों को जोड़कर, हम सिलेंडर का कुल सतह क्षेत्रफल पा सकते हैं:

    कुल सतह क्षेत्रफल = 2πr² + 2πrh
                          = 2πr(r + h)

सिलेंडर का आयतन

किसी पृष्ठ का आयतन यह बताता है कि उसके सतह के अंदर कितनी जगह है। एक सिलेंडर के लिए, आयतन उस वस्तु के अंदर का स्थान है और यह आधार क्षेत्र और ऊँचाई द्वारा निर्धारित होता है।

आयतन खोजने के लिए, हम आधार का क्षेत्रफल ऊँचाई से गुणा करते हैं। आधार का क्षेत्रफल एक वृत्त का क्षेत्रफल है:

    आधार का क्षेत्रफल = πr²

ऊँचाई h से गुणा करने से सिलेंडर के आयतन का सूत्र मिलता है:

    सिलेंडर का आयतन = πr²h

उदाहरण

आइए इन सूत्रों के उपयोग को बेहतर समझने के लिए कुछ व्यावहारिक उदाहरणों का उपयोग करें।

उदाहरण 1: सतह क्षेत्रफल खोजना

मान लें कि हमारे पास 3 सेमी की त्रिज्या और 5 सेमी की ऊँचाई वाला सिलेंडर है। इसका सतह क्षेत्रफल खोजने के लिए हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

    सतह क्षेत्रफल = 2πr(r + h)

संख्याएँ डालें:

    सतह क्षेत्रफल = 2π × 3 × (3 + 5)
                  = 2π × 3 × 8
                  = 48π सेमी²

π के संदर्भ में सरलीकरण करना, या अनुप्रयोग π ≈ 3.14 का उपयोग करना, लगभग देता है:

    सतह क्षेत्रफल ≈ 48 × 3.14 ≈ 150.72 वर्ग से.मी.

उदाहरण 2: आयतन गणना

उसी 3 सेमी की त्रिज्या और 5 सेमी की ऊँचाई वाले सिलेंडर को लें। इसका आयतन खोजने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

    आयतन = πr²h

मान डालें:

    आयतन = π × 3² × 5
          = π × 9 × 5
          = 45π सेमी³

π का उपयोग करके अनुप्रयोग:

    आयतन ≈ 45 × 3.14 ≈ 141.3 सेमी³

आयतन तुलना उदाहरण

दो सिलेंडरों पर विचार करें: सिलेंडर A जिसकी त्रिज्या 4 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है, और सिलेंडर B जिसकी त्रिज्या 5 सेमी और ऊँचाई 8 सेमी है। आइए उनके आयतनों की गणना करें और तुलना करें।

पहले, सिलेंडर A:

    सिलेंडर A का आयतन = π × 4² × 10
                    = π × 16 × 10
                    = 160π सेमी³
    π ≈ 3.14 का उपयोग करके अनुमान लगाना,
                    ≈ 160 × 3.14 ≈ 502.4 सेमी³

अब, सिलेंडर B:

    सिलेंडर B का आयतन = π × 5² × 8
                    = π × 25 × 8
                    = 200π सेमी³
    π ≈ 3.14 का उपयोग करके अनुमान लगाना,
                    ≈ 200 × 3.14 ≈ 628 सेमी³

निष्कर्ष: सिलेंडर B का आयतन सिलेंडर A से बड़ा है।

सिलेंडरों, उनके सतह क्षेत्रों, और उनके आयतनों को समझना वास्तविक दुनिया में वस्तुओं को मापने और बनाने के लिए एक बुनियादी कौशल प्रदान करता है। चाहे आप व्यावहारिक भंडारण समाधान डिज़ाइन कर रहे हों या जटिल इंजीनियरिंग संरचनाएँ बना रहे हों, ये सूत्र आवश्यक उपकरण हैं।

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