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घन
गणित में, त्रि-आयामी आकारों की सतह क्षेत्रफल और आयतन का अध्ययन करते समय घन की अवधारणा को समझना महत्वपूर्ण होता है। घन एक विशेष प्रकार का आयताकार प्रिज्म होता है जहां सभी भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं। यह विशिष्ट विशेषता घन को उसकी विशेष गुणधर्मिता देती है, जो इसे ज्यामिति और मापन में एक महत्वपूर्ण आकार बनाती है।
घन क्या होता है?
घन एक त्रि-आयामी ठोस वस्तु होती है, जो छह वर्गाकार चेहरे, फलक या भुजाओं द्वारा सीमित होती है, जिनमें से तीन प्रत्येक कोने पर मिलते हैं। घन की सभी भुजाएँ और कोने समान होते हैं, जिससे यह एक बहुत नियमित और सममित आकार होता है। दूसरे शब्दों में, सभी भुजाओं की लंबाई समान होती है। यदि घन की एक भुजा की लंबाई को s से दर्शाया जाता है, तो प्रत्येक चेहरा एक वर्ग होता है जिसकी भुजा की लंबाई s होती है।
घन की विशेषताएँ
- घन के सभी चेहरे वर्ग होते हैं।
- सभी भुजाओं की लंबाई समान होती है।
- घन में 12 भुजाएँ, 6 चेहरे, और 8 कोने होते हैं।
- घन में सभी कोने समकोण (90 डिग्री) होते हैं।
घन का सतह क्षेत्रफल
घन का सतह क्षेत्रफल उसके सभी छह वर्गाकार चेहरों के कुल क्षेत्र का होता है। क्योंकि प्रत्येक चेहरा एक वर्ग होता है और सभी वर्गों की भुजा की लंबाई समान s होती है, एक चेहरे का क्षेत्रफल बस s^2 होता है। क्योंकि घन के छह समान चेहरे होते हैं, कुल सतह क्षेत्रफल A का सूत्र इस प्रकार अभिव्यक्त किया जा सकता है:
a = 6s^2
यह सूत्र हमें यह निर्धारित करने में मदद करता है कि पूरे घन की सतह को ढकने के लिए कितनी सामग्री की आवश्यकता होती है।
मान लें कि घन की भुजा की लंबाई 4 सेमी है। इसका सतह क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम सतह क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:
S = 4 सेमी
a = 6s^2
= 6(4 सेमी)^2
= 6(16 सेमी^2)
= 96 सेमी^2
इस प्रकार, इस घन का सतह क्षेत्रफल 96 वर्ग सेंटीमीटर होता है।
घन का दृश्य
घन को आसानी से एक ऐसे बॉक्स के रूप में देखा जा सकता है जहां सभी भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं। नीचे एक घन का दृश्य चित्रण है। एक घन पर विचार करें जिसकी भुजा की लंबाई को s के रूप में चिन्हित किया गया है।
घन का आयतन
एक ठोस आकार जैसे कि घन का आयतन वह स्थान होता है जिसे यह घेरता है। घन का आयतन V ज्ञात करने के लिए, आपको लंबाई, चौड़ाई, और ऊँचाई को गुणा करना होता है, जोकि घन में समान होते हैं। इसलिए, घन के आयतन का सूत्र इस प्रकार होता है:
v = s^3
यह सूत्र हमें बताता है कि घन के अंदर कितना स्थान होता है।
मान लें कि घन की भुजा की लंबाई 3 मीटर है। इसका आयतन ज्ञात करने के लिए:
S = 3 मीटर
v = s^3
= (3 मीटर)^3
= 27 मीटर^3
इस प्रकार, इस घन का आयतन 27 घन मीटर होता है।
घन के अनुप्रयोग
वास्तविक जीवन के कई संदर्भों में घन को समझना उपयोगी होता है। यहाँ कुछ अनुप्रयोग दिए गए हैं:
- पैकेजिंग: घन आमतौर पर पैकेजिंग में उपयोग होते हैं क्योंकि वे भंडारण और शिपिंग के लिए स्थान-कुशलता को अधिकतम करते हैं।
- निर्माण: घन के गुणधर्म प्रायः वास्तुकला और निर्माण में उपयोग किए जाते हैं, जिसमें इमारतों में अक्सर घनाकार कमरे होते हैं।
- शिक्षा: बच्चे घनों की सादगी और समानता के कारण आकारों को सीखते हैं।
घन जाल
त्रि-आयामी आकारों से संबंधित एक महत्वपूर्ण अवधारणा नेट होती है। घन का नेट एक द्वि-आयामी आकार होता है जिसे घन बनाने के लिए मोड़ा जा सकता है। घन के लिए, नेट में छह वर्ग होते हैं जो T-आकार में, क्रॉस में या अन्य वैध विन्यास में आपस में जुड़ते हैं।
यहाँ एक सामान्य घन के लिए जाल है:
इस नेट को किनारों पर मोड़कर घन का आकार दिया जा सकता है।
व्यायाम समस्या
यहाँ कुछ अभ्यास समस्याएँ दी गई हैं जो घनों के सतह क्षेत्रफल और आयतन के सिद्धांतों को सुदृढ़ करने में मदद करती हैं:
उस घन का सतह क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी भुजा की लंबाई 7 मीटर है।
समाधान:
S = 7 मीटर
a = 6s^2
= 6(7 मीटर)^2
= 6(49 मीटर^2)
= 294 मीटर^2
इस प्रकार, सतह क्षेत्रफल 294 वर्ग मीटर है।
एक घन का आयतन 64 सेमी3 है। इसकी भुजा की लंबाई ज्ञात करें।
समाधान:
v = s^3
64 सेमी^3 = s^3
S = ∛(64 सेमी^3)
S = 4 सेमी
घन की भुजा की लंबाई 4 सेमी है।
9 सेमी भुजा के एक घन का आयतन ज्ञात करें।
समाधान:
S = 9 सेमी
v = s^3
= (9 सेमी)^3
= 729 सेमी^3
घन का आयतन 729 घन सेंटीमीटर होता है।
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