8º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Números racionais  1.2. Números irracionais  1.3. Número real  1.4. Propriedades dos números reais  1.4.1. Ativos permutáveis  1.4.2. Propriedade associativa  1.4.3. Compreendendo a propriedade distributiva  1.5. Representação na reta numérica  1.6. Operações com números reais  1.6.1. Adição e subtração  1.6.2. Multiplicação e divisão  1.7. Compreendendo a racionalização em sistemas numéricos  1.8. Entendendo expoentes e potências  1.9. Raiz quadrada e raiz cúbica
  2. Álgebra  2.1. Expressão Algébrica  2.2. Identificação e simplificação  2.2.1. Multiplicação de binômios  2.2.2. Uso das identidades algébricas na álgebra  2.3. Compreendendo a fatoração em álgebra  2.3.1. Fatos gerais  2.3.2. Fatoração por agrupamento  2.3.3. Compreendendo a fatoração de trinômios  2.3.4. Compreendendo produtos especiais na fatoração  2.4. Equações lineares em uma variável  2.4.1. Resolvendo equações lineares  2.4.2. Problemas de palavras em equações lineares
  3. Introdução à geometria  3.1. Compreendendo os quadriláteros  3.1.1. Compreendendo as propriedades dos quadriláteros  3.1.2. Tipos de quadriláteros  3.1.2.1. Quadrilátero  3.1.2.2. Retângulo  3.1.2.3. Classe social  3.1.2.4. Entendendo o losango nos tipos de quadriláteros  3.1.2.5. Compreendendo o trapézio  3.2. Construção  3.2.1. Construção de um quadrilátero  3.2.2. Construção de bissetriz  3.2.3. Criando um ângulo  3.2.4. Construção de triângulos  3.3. Simetria e transformação em geometria  3.3.1. Reflexões em simetrias e transformações  3.3.2. Compreendendo rotações na simetria e transformações na geometria  3.3.3. Tradução  3.3.4. Simetria em padrões
  4. Mensuração  4.1. Área e Perímetro  4.1.1. Entendendo o perímetro de polígonos  4.1.2. Área de triângulos  4.1.3. Área de um quadrilátero  4.1.4. Compreendendo a área dos círculos  4.2. Introdução à área de superfície e volume  4.2.1. Cubos  4.2.2. Compreendendo paralelepípedos: Área de superfície e volume  4.2.3. Cilindro  4.2.4. Cones: Área de superfície e volume  4.2.5. Compreendendo esferas - área de superfície e volume
  5. Manipulação de dados  5.1. Organizando os dados  5.2. Tabela de distribuição de frequência  5.3. Representação gráfica de dados  5.3.1. Gráfico de barras  5.3.2. Compreendendo histogramas na gestão de dados  5.3.3. Compreendendo gráficos de pizza: Um guia abrangente  5.3.4. Gráfico de linha (adicionado)  5.4. Compreendendo a probabilidade  5.4.1. Introdução à probabilidade  5.4.2. Probabilidade experimental
  6. Geometria coordenada  6.1. Plano cartesiano  6.2. Desenho de pontos na geometria coordenada  6.3. Sistema de Coordenadas  6.4. Distância entre pontos  6.5. Aplicações de geometria analítica
  7. Introdução aos gráficos  7.1. Gráficos lineares  7.2. Aplicações de gráficos  7.3. Diagrama de distância-tempo  7.4. Introdução aos gráficos de velocidade-tempo
  8. Comparação de quantidades  8.1. Compreendendo razão e proporção na comparação de quantidades  8.2. Compreendendo porcentagens em comparação com quantidades  8.2.1. Compreendendo porcentagens de aumento e diminuição  8.2.2. Desconto percentual  8.2.3. Compreendendo Lucro e Perda em Percentagem  8.2.4. Compreendendo o juro simples  8.2.5. Juros compostos
  9. Expoentes e potências  9.1. Leis dos expoentes  9.2. Compreendendo expoentes negativos  9.3. Compreendendo expoentes e expoentes em notação científica  9.4. Aplicações de expoentes
  10. Introdução aos quadrados e raízes quadradas  10.1. Propriedades dos números quadrados  10.2. Encontrando a raiz quadrada  10.2.1. Método de fatoração em números primos  10.2.2. Método de divisão para encontrar a raiz quadrada  10.3. Estimando a raiz quadrada
  11. Introdução aos cubos e raízes cúbicas  11.1. Propriedades dos números cúbicos  11.2. Encontrar raízes cúbicas  11.2.1. Método de fatoração primária para encontrar raízes cúbicas

8º ano ↓


Introdução à geometria


Geometria é um ramo da matemática que lida com a forma, medida, posição e dimensões das coisas. Está ao nosso redor, desde os padrões em uma parede de azulejos até o design de um arranha-céu moderno. Este assunto nos ajuda não apenas a entender o espaço ao nosso redor, mas também a navegar por ele de forma eficaz.

Conceitos básicos de geometria

Para entender a geometria, primeiro precisamos nos familiarizar com alguns conceitos e termos básicos. Esses conceitos básicos formam a base sobre a qual ideias mais complexas são construídas. Aqui estão alguns conceitos básicos:

Ponto

Um ponto é o elemento mais básico na geometria. Ele não tem forma, comprimento, largura e altura. É geralmente representado por um ponto e rotulado com uma letra, como "A". Pense em um ponto como uma localização em um mapa, a ponta de um lápis tocando o papel ou uma posição em pé em um campo de jogo.

A

Linha

Uma linha é uma figura unidimensional reta que se estende infinitamente em ambas as direções. As linhas são compostas por um número infinito de pontos que se estendem em direções opostas. Uma linha geralmente é rotulada com dois pontos, como "Linha AB" ou simplesmente escrita como AB com um símbolo de linha acima dela.

A B

Segmento de linha

Um segmento de linha é uma parte de uma linha que possui dois pontos finais. Ao contrário de uma linha, ele não se estende infinitamente, mas sim possui um comprimento finito. Um segmento de linha é representado com esses pontos finais, por exemplo, "AB" representa o segmento do ponto A ao ponto B.

A B

Raio

Um raio é uma parte de uma linha que começa em um ponto (chamado de ponto final) e se estende até o infinito em uma direção. É representado escrevendo seu ponto final primeiro e, em seguida, qualquer outro ponto no raio, como "raio AB".

A B

Plano

Um plano é uma superfície plana e bidimensional que se estende infinitamente em todas as direções. Como uma linha, o plano contém um número infinito de pontos. Geralmente é representado como uma figura de quatro lados, como uma superfície de mesa ou uma folha de papel, mas lembre-se, ele se estende para sempre.

Ângulos na geometria

Um dos conceitos mais importantes na geometria é o ângulo. Um ângulo é formado quando dois raios compartilham um ponto final comum, chamado de vértice do ângulo. Os ângulos são medidos em graus (°).

Tipos de ângulos

  • Ângulo Agudo: Um ângulo que é menor que 90°.
  • Ângulo Reto: Um ângulo que é exatamente 90°.
  • Ângulo Obtuso: Um ângulo que é maior que 90° mas menor que 180°.
  • Ângulo Reto: Um ângulo que é exatamente 180°.
ângulo agudo Ângulo Reto ângulo obtuso

Triângulo

Os triângulos são os polígonos mais simples e possuem três lados e três ângulos. Eles são classificados com base em seus comprimentos laterais e ângulos. Vamos aprender sobre os diferentes tipos de triângulos:

Tipos de triângulos de acordo com os lados

  • Triângulo equilátero: todos os três lados têm o mesmo comprimento e, como resultado, todos os ângulos são iguais, cada um com 60°.
  • Triângulo isósceles : Dois lados têm o mesmo comprimento e os ângulos opostos a esses lados também são iguais.
  • Triângulo escaleno: Todos os lados têm comprimentos diferentes e todos os ângulos são diferentes.

Tipos de triângulos com base em ângulos

  • Triângulo agudo: Todos os três ângulos são menores que 90°.
  • Ângulo Reto: Possui um ângulo exatamente 90°.
  • Triângulo ângulo obtuso: Um de seus ângulos é maior que 90°.
Equilateral Isósceles escaleno

Quadrilátero

Os quadriláteros são polígonos com quatro lados e quatro ângulos. Diferentes tipos de quadriláteros apresentam diferentes propriedades. Vamos dar uma olhada em alguns tipos comuns:

  • Quadrado: Quatro lados iguais e quatro ângulos retos.
  • Retângulo: Os lados opostos são iguais e existem quatro ângulos retos.
  • Losango: Quatro lados iguais com ângulos opostos iguais, mas não necessariamente ângulos retos.
  • Paralelogramo: Os lados opostos são iguais e paralelos e os ângulos opostos também são iguais.
  • Trapézio (ou trapezoide): pelo menos um par de lados paralelos.
Social class retângulo losango Quadrilateral

Círculo

Um círculo é um tipo especial de figura na geometria. É o conjunto de todos os pontos no plano que estão equidistantes de um determinado ponto, chamado de centro do círculo. Os principais termos relacionados a círculos são os seguintes:

  • Raio: O segmento de linha que conecta o centro de um círculo a qualquer ponto da sua circunferência.
  • Diâmetro: Um segmento de linha que passa pelo centro de um círculo e conecta dois pontos na circunferência. É o dobro do raio.
  • Acorde: Um segmento de linha unindo dois pontos na circunferência de um círculo.
  • Arco: Uma parte da circunferência de um círculo.
  • Circunferência: A distância total ao redor do círculo.
  • Pi (π): Uma constante matemática especial, aproximadamente igual a 3,14159, que representa a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro.
raio Diâmetro Fio Centro

Perímetro e área

Na geometria, duas medidas importantes das formas são o perímetro e a área. Essas medidas podem nos dizer quanto espaço ocupa uma forma (área) e até onde se estende seu limite (perímetro).

Circunferência

O perímetro é a distância total ao redor de uma forma. Para várias formas regulares, você pode calcular o perímetro da seguinte forma:

  • Para um triângulo: Adicione os comprimentos dos três lados.
  • Para um retângulo: Use a fórmula: Perímetro = 2 * (Comprimento + Largura)
  • Para praça: Use a fórmula: Perímetro = 4 * Lado
  • Para um círculo: O perímetro é chamado de circunferência, é calculado como: Circunferência = 2 * π * Raio

Exemplo: Considere um retângulo com comprimento 8 e largura 5. O perímetro é calculado da seguinte forma:

 Perímetro = 2 * (8 + 5) = 2 * 13 = 26

Área

A área é a quantidade de espaço dentro de uma forma. As fórmulas para calcular a área de várias formas regulares são as seguintes:

  • Para um triângulo: Use a fórmula: Área = 1/2 * Base * Altura
  • Para um retângulo: Use a fórmula: Área = Comprimento * Largura
  • Para praça: Use a fórmula: Área = Lado * Lado
  • Para um círculo: Use a fórmula: Área = π * Raio * Raio

Exemplo: Considere um círculo com raio 7. A área é calculada da seguinte forma:

 Área = π * 7 * 7 ≈ 3,14 * 49 ≈ 153,86

Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras é uma regra especial da geometria que se aplica a triângulos retângulos. Trata dos comprimentos dos lados de um triângulo retângulo. Afirma que o quadrado da hipotenusa (c) é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados (a e b):

 c² = a² + b²

Exemplo: Considere um triângulo retângulo onde um lado tem 3 unidades e o outro lado tem 4 unidades. Para encontrar o comprimento da hipotenusa:

 C² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
 c = √25 = 5

Portanto, o comprimento da hipotenusa é 5 unidades.

Geometria de coordenadas

A geometria de coordenadas ou geometria analítica é o estudo da geometria utilizando um sistema de coordenadas. Este ramo da geometria nos permite especificar pontos no plano utilizando pares de números, comumente chamados de coordenadas. O sistema de coordenadas mais comum é o sistema de coordenadas cartesianas, que utiliza duas linhas numeradas perpendiculares: o eixo x (horizontal) e o eixo y (vertical).

Plotagem de pontos

Os pontos no plano coordenado são plotados usando pares ordenados (x, y). A coordenada x representa a posição horizontal e a coordenada y representa a posição vertical.

Exemplo: Plote o ponto (3, 4) no plano cartesiano. Isso significa mover 3 unidades no eixo x e 4 unidades no eixo y.

Fórmula da distância

A distância entre dois pontos no plano de coordenadas pode ser calculada usando a fórmula da distância:

 Distância = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

Fórmula do ponto médio

O ponto médio de um segmento de linha com pontos finais (x₁, y₁) e (x₂, y₂) é calculado usando a fórmula do ponto médio:

 Ponto Médio = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)

Esta fórmula ajuda a encontrar o ponto médio em uma linha reta que conecta dois pontos.

Uso da geometria na vida real

A geometria possui muitas aplicações práticas no mundo real. Engenheiros, arquitetos e artistas utilizam princípios geométricos para criar tudo, desde pontes até edifícios e belas obras de arte. Entender a geometria também pode ajudar em tarefas do dia a dia, como mover móveis, embalar ou até mesmo planejar um jardim.

Por exemplo, saber a área de uma sala pode ajudá-lo a comprar a quantidade certa de carpete, ou saber o volume pode ajudá-lo a entender quanto deve encher uma piscina.

Conclusão

A geometria é uma parte integrante da matemática que nos ajuda a entender e compreender o mundo ao nosso redor. Ao aprender sobre pontos, linhas, ângulos, formas e coordenadas, você começa a ver a beleza e a praticidade da matemática. À medida que você se aprofunda na geometria, descobrirá conceitos mais complexos e interessantes que melhorarão sua capacidade de raciocinar e pensar criticamente.

Praticando a geometria, você aprimora suas habilidades de resolução de problemas e ganha insights que podem ser aplicados em diversos campos. Quer você esteja olhando para uma obra de arte, projetando um novo gadget ou explorando o mundo exterior, a geometria desempenha um papel vital na interpretação e interação com seu ambiente.


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Introdução à geometria

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