Класс 8 → Введение в геометрию ↓
Симметрия и преобразование в геометрии
Геометрия — это увлекательная область математики, которая занимается свойствами формы, размера и пространства. В этом подробном исследовании мы углубимся в одну из увлекательных тем геометрии: симметрию и преобразование. Эта тема помогает студентам понять, как выглядят и изменяются формы, и играет важную роль как в математике, так и в окружающем нас мире.
Понимание симметрии
Симметрия возникает, когда одна часть объекта является зеркальным отражением или точной копией другой части. Симметрия существует повсюду вокруг нас, от крыльев бабочек до структуры снежинок. Давайте исследуем различные виды симметрии.
Линейная симметрия
Линейная симметрия, также известная как симметрия отражения, возникает, когда объект можно разделить на две равные части линией. Эта линия называется линией симметрии. Например, человеческие лица часто имеют линейную симметрию. Давайте проанализируем эту концепцию на примере:
Рассмотрим квадрат. Если мы проведем линию через его середину, будь то горизонтально или вертикально, каждая половина будет зеркальным отражением другой.
Красная линия является линией симметрии. Левые и правые стороны квадрата равны.
Вращательная симметрия
Вращательная симметрия возникает, когда фигуру можно вращать вокруг центральной точки (меньше полной окружности) и она всё равно будет выглядеть одинаково. Общим примером этого является игровая карта. Если вы повернете ее наполовину (на 180 градусов), она всё равно будет выглядеть как та же карта.
Стрелки показывают, что как бы вы не повернули эту фигуру на 90 градусов вокруг центра, она выглядит одинаково.
Точечная симметрия
Точечная симметрия возникает, когда каждая часть объекта имеет соответствующую часть на таком же расстоянии от центральной точки, но на противоположных сторонах. Примером этого является буква "S". Центр создаёт точечную симметрию, где верхние и нижние части зеркально отображают друг друга.
Представьте, что вы помещаете карандаш в точку и поворачиваете его на 180 градусов. Если фигура или объект выглядят одинаково, они обладают точечной симметрией.
Преобразования
Преобразование означает изменение положения, размера или формы объекта. В геометрии понимание преобразования важно, поскольку оно помогает манипулировать формами и анализировать их свойства. Существует несколько типов преобразований:
Перенос
Перенос означает перемещение каждой точки объекта на одно и то же расстояние в одном направлении. Это как скольжение без вращения или переворота. Представьте, что вы скользите бумажный лист по столу; каждая часть бумаги перемещается на одно и то же расстояние.
Синий квадрат был перемещен или сдвинут на новое место, указанное красным пунктирным квадратом.
Поворот
Поворот означает вращение фигуры вокруг фиксированной точки, называемой центром поворота. Величина поворота измеряется в градусах. Например, поворот фигуры на 90 градусов по часовой стрелке называется поворотом.
Фиолетовый треугольник повернут на 90 градусов вокруг черной точки, чтобы достигнуть положения оранжевого пунктирного треугольника.
Отражение
Отражение — это переворачивание фигуры вдоль линии, создающее зеркальное изображение первоначальной фигуры. Эта линия называется линией отражения. Это похоже на то, как вы смотрите на свое отражение в зеркале.
Красный пунктирный прямоугольник создан путем размещения зелёного прямоугольника над синей линией.
Масштабирование
Масштабирование, или растяжение, изменяет размер фигуры. Это может быть либо увеличение, либо уменьшение. Фигура сохраняет свои пропорции, но её размер изменяется.
Тёмно-синий круг был увеличен и стал большим бирюзовым пунктирным кругом.
Примеры и упражнения
Пример 1: Линейная симметрия
Найдите линию симметрии для буквы "A".
В заглавной букве "A" линия симметрии вертикальная. Если провести вертикальную линию в середине, левая и правая стороны будут зеркально отражать друг друга.
Пример 2: Вращательная симметрия
Определите, имеет ли буква "E" вращательную симметрию.
Заглавная буква "E" не имеет вращательной симметрии. Она не будет выглядеть одинаково, если вы повернете её каким-либо образом, кроме полного поворота на 360 градусов.
Пример 3: Преобразование
Переместите треугольник ABC на 5 единиц вправо и на 3 единицы вверх. Если координаты треугольника ABC следующие:
A(1, 2), B(3, 4), C(2, 6)Новые координаты после переноса будут:
A'(1+5, 2+3), B'(3+5, 4+3), C'(2+5, 6+3)A'(6, 5), B'(8, 7), C'(7, 9)Заключительные мысли
Понимание симметрии и преобразований позволяет видеть математические отношения и закономерности в мире. Независимо от того, в искусстве, природе или повседневных объектах, признание симметрии и преобразований помогает вам ценить красоту геометрии. Практикуйтесь, наблюдая за окружающим миром, решая задачи и открывая новые фигуры и преобразования. Эта основа улучшит ваши пространственные и аналитические навыки.
комментарии