8º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Números racionais  1.2. Números irracionais  1.3. Número real  1.4. Propriedades dos números reais  1.4.1. Ativos permutáveis  1.4.2. Propriedade associativa  1.4.3. Compreendendo a propriedade distributiva  1.5. Representação na reta numérica  1.6. Operações com números reais  1.6.1. Adição e subtração  1.6.2. Multiplicação e divisão  1.7. Compreendendo a racionalização em sistemas numéricos  1.8. Entendendo expoentes e potências  1.9. Raiz quadrada e raiz cúbica
  2. Álgebra  2.1. Expressão Algébrica  2.2. Identificação e simplificação  2.2.1. Multiplicação de binômios  2.2.2. Uso das identidades algébricas na álgebra  2.3. Compreendendo a fatoração em álgebra  2.3.1. Fatos gerais  2.3.2. Fatoração por agrupamento  2.3.3. Compreendendo a fatoração de trinômios  2.3.4. Compreendendo produtos especiais na fatoração  2.4. Equações lineares em uma variável  2.4.1. Resolvendo equações lineares  2.4.2. Problemas de palavras em equações lineares
  3. Introdução à geometria  3.1. Compreendendo os quadriláteros  3.1.1. Compreendendo as propriedades dos quadriláteros  3.1.2. Tipos de quadriláteros  3.1.2.1. Quadrilátero  3.1.2.2. Retângulo  3.1.2.3. Classe social  3.1.2.4. Entendendo o losango nos tipos de quadriláteros  3.1.2.5. Compreendendo o trapézio  3.2. Construção  3.2.1. Construção de um quadrilátero  3.2.2. Construção de bissetriz  3.2.3. Criando um ângulo  3.2.4. Construção de triângulos  3.3. Simetria e transformação em geometria  3.3.1. Reflexões em simetrias e transformações  3.3.2. Compreendendo rotações na simetria e transformações na geometria  3.3.3. Tradução  3.3.4. Simetria em padrões
  4. Mensuração  4.1. Área e Perímetro  4.1.1. Entendendo o perímetro de polígonos  4.1.2. Área de triângulos  4.1.3. Área de um quadrilátero  4.1.4. Compreendendo a área dos círculos  4.2. Introdução à área de superfície e volume  4.2.1. Cubos  4.2.2. Compreendendo paralelepípedos: Área de superfície e volume  4.2.3. Cilindro  4.2.4. Cones: Área de superfície e volume  4.2.5. Compreendendo esferas - área de superfície e volume
  5. Manipulação de dados  5.1. Organizando os dados  5.2. Tabela de distribuição de frequência  5.3. Representação gráfica de dados  5.3.1. Gráfico de barras  5.3.2. Compreendendo histogramas na gestão de dados  5.3.3. Compreendendo gráficos de pizza: Um guia abrangente  5.3.4. Gráfico de linha (adicionado)  5.4. Compreendendo a probabilidade  5.4.1. Introdução à probabilidade  5.4.2. Probabilidade experimental
  6. Geometria coordenada  6.1. Plano cartesiano  6.2. Desenho de pontos na geometria coordenada  6.3. Sistema de Coordenadas  6.4. Distância entre pontos  6.5. Aplicações de geometria analítica
  7. Introdução aos gráficos  7.1. Gráficos lineares  7.2. Aplicações de gráficos  7.3. Diagrama de distância-tempo  7.4. Introdução aos gráficos de velocidade-tempo
  8. Comparação de quantidades  8.1. Compreendendo razão e proporção na comparação de quantidades  8.2. Compreendendo porcentagens em comparação com quantidades  8.2.1. Compreendendo porcentagens de aumento e diminuição  8.2.2. Desconto percentual  8.2.3. Compreendendo Lucro e Perda em Percentagem  8.2.4. Compreendendo o juro simples  8.2.5. Juros compostos
  9. Expoentes e potências  9.1. Leis dos expoentes  9.2. Compreendendo expoentes negativos  9.3. Compreendendo expoentes e expoentes em notação científica  9.4. Aplicações de expoentes
  10. Introdução aos quadrados e raízes quadradas  10.1. Propriedades dos números quadrados  10.2. Encontrando a raiz quadrada  10.2.1. Método de fatoração em números primos  10.2.2. Método de divisão para encontrar a raiz quadrada  10.3. Estimando a raiz quadrada
  11. Introdução aos cubos e raízes cúbicas  11.1. Propriedades dos números cúbicos  11.2. Encontrar raízes cúbicas  11.2.1. Método de fatoração primária para encontrar raízes cúbicas

8º ano → Introdução à geometria → Simetria e transformação em geometria ↓


Simetria em padrões


A simetria é um aspecto fundamental da geometria e um conceito importante na matemática, especialmente quando se trata de compreender padrões. A simetria pode ser encontrada em toda parte na natureza, arte, arquitetura e em vários outros campos. Nesta explicação, exploraremos a simetria em padrões, focando nos tipos de simetria, como identificar padrões simétricos, e daremos alguns exemplos interessantes para ilustrar esses conceitos.

O que é simetria?

A simetria refere-se ao equilíbrio ou conformidade entre as partes de um objeto. Um objeto é considerado simétrico se puder ser dividido em duas ou mais partes iguais que são imagens espelhadas umas das outras. A linha ou plano que divide é chamado de linha ou plano de simetria.

Tipos de simetria

Existem muitos tipos de simetria, mas as simetrias mais comuns na geometria são as seguintes:

  • Simetria de reflexão: É quando um objeto é igual em ambos os lados de uma linha, conhecida como linha de simetria. Um exemplo disso é a borboleta, onde uma asa reflete a outra.
  • Simetria rotacional: Este tipo de simetria ocorre quando um objeto parece o mesmo mesmo após ser rotacionado uma certa quantidade. Por exemplo, uma estrela-do-mar tem simetria rotacional porque parece igual mesmo quando girada por certos ângulos.
  • Simetria translacional: Um padrão possui simetria translacional quando pode ser deslocado ou movido em uma certa direção e ainda assim parece inalterado.
  • Simetria de reflexão deslizante: Isso pode ser pensado como uma combinação de reflexão e translação. Um padrão com simetria de reflexão deslizante pode ser refletido através de uma linha e depois transladado ao longo dessa linha.

Simetria de reflexão

Ao discutir simetria de reflexão, muitas vezes pensamos em imagens de espelho. A linha de simetria atua como um espelho. Vamos considerar uma figura geométrica simples:

No exemplo acima, os dois círculos são imagens espelhadas um do outro ao longo da linha vertical. A linha vertical é a linha de simetria.

Simetria rotacional

A simetria rotacional ocorre quando um objeto pode ser rotacionado em torno de um ponto central e ainda parecer o mesmo em certos ângulos de rotação. O número de vezes que um objeto pode ser rotacionado para parecer o mesmo em uma volta completa (360 graus) determina sua ordem de simetria rotacional. Considere o seguinte padrão:

Este padrão de uma cruz dentro de um círculo tem simetria rotacional de ordem 4, porque parece o mesmo quando rotacionado 90, 180, 270 e 360 graus.

Isomorfismo translacional

A simetria translacional é observada em padrões que podem ser deslocados em uma determinada direção sem alterar sua aparência. Esse tipo de simetria é comumente observado em pisos de azulejos, papéis de parede e tecidos. Imagine o padrão repetitivo dado abaixo:

Este padrão de retângulos continua infinitamente em ambas as direções. Se você deslizar o padrão horizontalmente, ele parece inalterado, demonstrando simetria translacional.

Simetria de reflexão deslizante

A simetria de reflexão deslizante envolve refletir um objeto e depois movê-lo ao longo da linha de reflexão. Este tipo é um pouco mais complicado do que os outros, mas é comum em pegadas e padrões semelhantes. Considere este padrão simplificado:

Este padrão pode ser visto como uma translação seguida por uma reflexão de uma linha. Quando você reflete uma parte do padrão e depois a translada para um local adjacente, ela coincide com o padrão existente.

Identificando padrões simétricos

Para identificar simetria em padrões ou objetos, considere os seguintes passos:

  1. Inspeção visual: Observe o padrão e veja se há seções repetidas ou linhas que possam dividir o padrão em imagens espelhadas.
  2. Use um espelho: Use fisicamente um espelho para testar se metade do padrão pode refletir a outra metade.
  3. Tente rotacionar: Imagine rotacionar um objeto ou imagem e veja se ele parece o mesmo após certos ângulos.

Exemplos textuais e descrições

Vamos examinar alguns exemplos mais descritivos:

Exemplo 1: Considere a palavra "MAMÃE". Se traçarmos uma linha através do centro do "A", cada metade da palavra será oposta à outra. Portanto, "MAMÃE" tem simetria de reflexão.

Exemplo 2: Considere a letra "Z". Se a letra for rotacionada 180 graus, ela parecerá a mesma. Assim, a letra "Z" tem simetria rotacional.

Exemplo 3: Pense em um padrão de favo de mel. Se você imaginar mover os azulejos hexagonais em linha reta, verá que suas posições relativas não mudam. Isso mostra simetria translacional.

Descobrindo simetria em padrões do mundo real

A simetria não é apenas teórica; ela é encontrada em toda parte no mundo ao nosso redor, desde as menores moléculas até as maiores galáxias. Aqui estão alguns exemplos onde a simetria desempenha um papel importante:

Arquitetura

A simetria é uma parte importante dos projetos arquitetônicos, proporcionando equilíbrio e beleza. O Taj Mahal na Índia é um exemplo clássico de simetria de reflexão, com seus jardins simétricos, fontes, e monumento perfeitamente espelhados pelas margens da própria estrutura.

Natureza

Muitos organismos vivos exibem simetria. Por exemplo, o corpo humano tipicamente tem simetria bilateral. Flores, que possuem pétalas dispostas uniformemente em torno de um centro, muitas vezes exibem simetria rotacional.

Considere uma estrela-do-mar:

A estrela-do-mar tem simetria rotacional de ordem 5, porque parece a mesma mesmo após girar 72 graus.

Arte e design

Muitos designs artísticos e motivos são baseados em simetria, especialmente os tipos de reflexão e rotação. Designs intrincados na arte islâmica frequentemente usam padrões geométricos com muitas linhas de simetria.

Exploração interativa de simetria

A melhor maneira de compreender a simetria é experimentando com ela. Desenhar e manipular formas em papel quadriculado ou usar ferramentas de software pode ajudar a visualizar diferentes tipos de simetria. Os alunos podem desenhar formas básicas como triângulos, quadrados, e hexágonos e experimentar traçar linhas de simetria e rotacionar as formas em torno de pontos específicos.

Conclusão

Compreender a simetria nos ajuda a entender o mundo ao nosso redor, desde padrões sistemáticos em design até conceitos fundamentais em ciência e natureza. A simetria em padrões pode ser um tópico interessante e envolvente que conecta arte, ciência, e matemática. Ao reconhecer e criar padrões simétricos, os alunos podem aprimorar sua percepção espacial, criatividade e apreciação pela beleza matemática nas estruturas ao seu redor. Explorar a simetria em uma variedade de campos ajuda os alunos a entender e aplicar conceitos geométricos mais profundamente, reforçando a importância da simetria no design, natureza, e tecnologia.


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