Grado 8
  1. Sistemas numéricos  1.1. Números racionales  1.2. Números irracionales  1.3. Número real  1.4. Propiedades de los números reales  1.4.1. Activos intercambiables  1.4.2. Propiedad asociativa  1.4.3. Entendiendo la propiedad distributiva  1.5. Representación en la recta numérica  1.6. Operaciones con números reales  1.6.1. Adición y sustracción  1.6.2. Multiplicación y división  1.7. Comprender la racionalización en sistemas numéricos  1.8. Comprendiendo exponentes y potencias  1.9. Raíz cuadrada y raíz cúbica
  2. Álgebra  2.1. Expresión algebraica  2.2. Identificación y simplificación  2.2.1. Multiplicación de binomios  2.2.2. Uso de identidades algebraicas en álgebra  2.3. Entendiendo la factorización en álgebra  2.3.1. Hechos generales  2.3.2. Factorización por agrupación  2.3.3. Comprendiendo la factorización de trinomios  2.3.4. Comprender los productos especiales en factorización  2.4. Ecuaciones lineales en una variable  2.4.1. Resolviendo ecuaciones lineales  2.4.2. Problemas de palabras en ecuaciones lineales
  3. Introducción a la geometría  3.1. Comprendiendo los cuadriláteros  3.1.1. Comprendiendo las propiedades de los cuadriláteros  3.1.2. Tipos de cuadriláteros  3.1.2.1. Cuadrilátero  3.1.2.2. Rectángulo  3.1.2.3. Clase social  3.1.2.4. Entendiendo el rombo en tipos de cuadriláteros  3.1.2.5. Comprendiendo el trapecio  3.2. Construcción  3.2.1. Construcción de un cuadrilátero  3.2.2. Construcción del bisector  3.2.3. Creando un ángulo  3.2.4. Construcción de triángulos  3.3. Simetría y transformación en geometría  3.3.1. Reflexiones en simetrías y transformaciones  3.3.2. Comprender las rotaciones en simetría y transformaciones en geometría  3.3.3. Traducción  3.3.4. Simetría en patrones
  4. Mensuración  4.1. Área y Perímetro  4.1.1. Comprender el perímetro de los polígonos  4.1.2. Área de triángulos  4.1.3. Área de un cuadrilátero  4.1.4. Entendiendo el área de los círculos  4.2. Introducción al área de superficie y volumen  4.2.1. Cubos  4.2.2. Comprender los cuboides: Área de superficie y volumen  4.2.3. Cilindro  4.2.4. Conos: Área de superficie y volumen  4.2.5. Comprendiendo las esferas - área de superficie y volumen
  5. Manejo de datos  5.1. Organizando los datos  5.2. Tabla de distribución de frecuencias  5.3. Representación gráfica de datos  5.3.1. Gráfico de barras  5.3.2. Comprendiendo los histogramas en la gestión de datos  5.3.3. Entendiendo los gráficos de pastel: Una guía completa  5.3.4. Gráfico de líneas (añadido)  5.4. Entendiendo la probabilidad  5.4.1. Introducción a la probabilidad  5.4.2. Probabilidad experimental
  6. Geometría coordinada  6.1. Plano cartesiano  6.2. Dibujo de puntos en geometría de coordenadas  6.3. Sistema de coordenadas  6.4. Distancia entre puntos  6.5. Aplicaciones de la geometría analítica
  7. Introducción a los gráficos  7.1. Gráficas lineales  7.2. Aplicaciones de los gráficos  7.3. Diagrama de distancia-tiempo  7.4. Introducción a los gráficos de velocidad-tiempo
  8. Comparación de cantidades  8.1. Comprender la razón y la proporción en la comparación de cantidades  8.2. Comprender porcentajes en comparación con cantidades  8.2.1. Comprender los porcentajes de aumento y disminución  8.2.2. Descuento porcentual  8.2.3. Comprender el beneficio y la pérdida en porcentaje  8.2.4. Entendiendo el interés simple  8.2.5. Interés compuesto
  9. Exponentes y potencias  9.1. Leyes de los exponentes  9.2. Comprender los exponentes negativos  9.3. Comprensión de los exponentes y exponentes en forma estándar  9.4. Aplicaciones de los exponentes
  10. Introducción a los cuadrados y raíces cuadradas  10.1. Propiedades de los números cuadrados  10.2. Encontrar la raíz cuadrada  10.2.1. Método de factorización en primos  10.2.2. Método de división para encontrar la raíz cuadrada  10.3. Estimación de la raíz cuadrada
  11. Introducción a los cubos y raíces cúbicas  11.1. Propiedades de los números cúbicos  11.2. Encontrar raíces cúbicas  11.2.1. Método de factorización en primos para encontrar raíces cúbicas

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Entendiendo la factorización en álgebra


La factorización es un concepto en álgebra que implica descomponer una expresión en un producto de expresiones más simples, llamadas factores. Cuando factorizas una expresión, esencialmente la estás reescribiendo como un problema de multiplicación. Factoring es una herramienta poderosa en álgebra porque ayuda a simplificar expresiones, resolver ecuaciones, y hacer cálculos complejos más manejables.

¿Qué es la factorización?

La factorización es el proceso de expresar una expresión algebraica como un producto de sus factores. Estos factores pueden ser números, variables o una combinación de ambos. Por ejemplo, la expresión x^2 + 5x + 6 (x + 2)(x + 3). Aquí, (x + 2) y (x + 3) son los factores de la expresión original.

¿Por qué es importante la factorización?

La factorización es importante por varias razones:

  • Simplifica expresiones algebraicas complejas.
  • Ayuda a resolver ecuaciones cuadráticas y polinómicas.
  • Se usa para dividir polinomios.
  • Ayuda a encontrar los ceros o raíces de funciones polinómicas.

Fundamentos de la factorización

Para factorizar una expresión algebraica, necesitas seguir ciertos principios y técnicas. Vamos a explorar algunos conceptos básicos de la factorización.

1. Factores comunes

Un factor común es un número o variable que es un factor de cada término de una expresión. El primer paso en la factorización es identificar cualquier factor común en los términos de la expresión.

6x^2 + 9x Factor común: 3x Forma factorizada: 3x(2x + 3)

2. Factorización por agrupación

Cuando no hay un factor común para todos los términos, pero la expresión se puede agrupar en pares con factores comunes, podemos usar la factorización por agrupación.

x^2 + 5x + 6 Agrupación: (x^2 + 3x) + (2x + 6) Factores comunes: x(x + 3) + 2(x + 3) Forma factorizada: (x + 2)(x + 3)

3. Diferencia de cuadrados

La diferencia de cuadrados es un patrón específico donde una expresión puede ser factorizada cuando es de la forma a^2 - b^2, resultando en (a + b)(a - b).

x^2 - 9 Reconocer como: x^2 - 3^2 Forma factorizada: (x + 3)(x - 3)
a^2 - b^2 A+B A - B

Factorización de expresiones cuadráticas

Forma estándar

Una expresión cuadrática generalmente tiene la forma ax^2 + bx + c. Para factorizarla, necesitamos encontrar dos números cuyo producto sea ac y cuya suma sea b.

Ejemplo de factorización cuadrática

Factorizar x^2 + 5x + 6.

Encuentra dos números cuyo producto sea 6 (coeficiente de x^2 * término constante) y cuya suma sea 5 (coeficiente de x). Los números son 2 y 3. Reescribiendo: x^2 + 2x + 3x + 6 Agrupar: (x^2 + 2x) + (3x + 6) Factor común: x(x + 2) + 3(x + 2) Forma factorizada: (x + 2)(x + 3)

Técnicas especiales de factorización

Trinomio cuadrado perfecto

Algunos cuadráticos son cuadrados perfectos. Esto significa que pueden ser expresados como el cuadrado de un binomio.

x^2 + 4x + 4 Reconocer como: (x + 2)^2

Suma/diferencia de cubos

Los cubos también tienen fórmulas específicas de factorización. La suma de cubos a^3 + b^3 se factoriza como (a + b)(a^2 - ab + b^2), y la diferencia de cubos a^3 - b^3 se factoriza como (a - b)(a^2 + ab + b^2).

x^3 + 27 Reconocer como: x^3 + 3^3 Forma factorizada: (x + 3)(x^2 - 3x + 9)
a^3 + b^3 (a + b) (a^2 - ab + b^2)

Problemas de práctica

  1. Factorizar 3x^2 + 12x.
  2. Factorizar y^2 - 16.
  3. Factorizar 2x^2 + 7x + 3.
  4. Factorizar 64a^3 - 27b^3.
  5. Factorizar x^2 - 6x + 9.

Técnicas sugeridas:

  • Primero, observa los factores comunes.
  • Comprueba si la expresión es un cuadrado perfecto o una diferencia de cuadrados.
  • Para cuadráticas, encuentra números que multiplican por ac y suman b.
  • Usa fórmulas específicas para cubos.

Conclusión

La factorización es un concepto importante en álgebra que nos permite simplificar expresiones, resolver ecuaciones y entender las propiedades de los polinomios. Al dominar las técnicas de factorización, puedes obtener herramientas poderosas para trabajar eficazmente con expresiones algebraicas. Recuerda, la práctica es clave para volverse competente en factorización, así que utiliza los ejemplos y técnicas discutidos aquí como base para una mayor exploración y resolución de problemas.


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