8º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Números racionais  1.2. Números irracionais  1.3. Número real  1.4. Propriedades dos números reais  1.4.1. Ativos permutáveis  1.4.2. Propriedade associativa  1.4.3. Compreendendo a propriedade distributiva  1.5. Representação na reta numérica  1.6. Operações com números reais  1.6.1. Adição e subtração  1.6.2. Multiplicação e divisão  1.7. Compreendendo a racionalização em sistemas numéricos  1.8. Entendendo expoentes e potências  1.9. Raiz quadrada e raiz cúbica
  2. Álgebra  2.1. Expressão Algébrica  2.2. Identificação e simplificação  2.2.1. Multiplicação de binômios  2.2.2. Uso das identidades algébricas na álgebra  2.3. Compreendendo a fatoração em álgebra  2.3.1. Fatos gerais  2.3.2. Fatoração por agrupamento  2.3.3. Compreendendo a fatoração de trinômios  2.3.4. Compreendendo produtos especiais na fatoração  2.4. Equações lineares em uma variável  2.4.1. Resolvendo equações lineares  2.4.2. Problemas de palavras em equações lineares
  3. Introdução à geometria  3.1. Compreendendo os quadriláteros  3.1.1. Compreendendo as propriedades dos quadriláteros  3.1.2. Tipos de quadriláteros  3.1.2.1. Quadrilátero  3.1.2.2. Retângulo  3.1.2.3. Classe social  3.1.2.4. Entendendo o losango nos tipos de quadriláteros  3.1.2.5. Compreendendo o trapézio  3.2. Construção  3.2.1. Construção de um quadrilátero  3.2.2. Construção de bissetriz  3.2.3. Criando um ângulo  3.2.4. Construção de triângulos  3.3. Simetria e transformação em geometria  3.3.1. Reflexões em simetrias e transformações  3.3.2. Compreendendo rotações na simetria e transformações na geometria  3.3.3. Tradução  3.3.4. Simetria em padrões
  4. Mensuração  4.1. Área e Perímetro  4.1.1. Entendendo o perímetro de polígonos  4.1.2. Área de triângulos  4.1.3. Área de um quadrilátero  4.1.4. Compreendendo a área dos círculos  4.2. Introdução à área de superfície e volume  4.2.1. Cubos  4.2.2. Compreendendo paralelepípedos: Área de superfície e volume  4.2.3. Cilindro  4.2.4. Cones: Área de superfície e volume  4.2.5. Compreendendo esferas - área de superfície e volume
  5. Manipulação de dados  5.1. Organizando os dados  5.2. Tabela de distribuição de frequência  5.3. Representação gráfica de dados  5.3.1. Gráfico de barras  5.3.2. Compreendendo histogramas na gestão de dados  5.3.3. Compreendendo gráficos de pizza: Um guia abrangente  5.3.4. Gráfico de linha (adicionado)  5.4. Compreendendo a probabilidade  5.4.1. Introdução à probabilidade  5.4.2. Probabilidade experimental
  6. Geometria coordenada  6.1. Plano cartesiano  6.2. Desenho de pontos na geometria coordenada  6.3. Sistema de Coordenadas  6.4. Distância entre pontos  6.5. Aplicações de geometria analítica
  7. Introdução aos gráficos  7.1. Gráficos lineares  7.2. Aplicações de gráficos  7.3. Diagrama de distância-tempo  7.4. Introdução aos gráficos de velocidade-tempo
  8. Comparação de quantidades  8.1. Compreendendo razão e proporção na comparação de quantidades  8.2. Compreendendo porcentagens em comparação com quantidades  8.2.1. Compreendendo porcentagens de aumento e diminuição  8.2.2. Desconto percentual  8.2.3. Compreendendo Lucro e Perda em Percentagem  8.2.4. Compreendendo o juro simples  8.2.5. Juros compostos
  9. Expoentes e potências  9.1. Leis dos expoentes  9.2. Compreendendo expoentes negativos  9.3. Compreendendo expoentes e expoentes em notação científica  9.4. Aplicações de expoentes
  10. Introdução aos quadrados e raízes quadradas  10.1. Propriedades dos números quadrados  10.2. Encontrando a raiz quadrada  10.2.1. Método de fatoração em números primos  10.2.2. Método de divisão para encontrar a raiz quadrada  10.3. Estimando a raiz quadrada
  11. Introdução aos cubos e raízes cúbicas  11.1. Propriedades dos números cúbicos  11.2. Encontrar raízes cúbicas  11.2.1. Método de fatoração primária para encontrar raízes cúbicas

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Fatoração por agrupamento


A fatoração por agrupamento é um método usado para simplificar expressões complexas combinando termos em grupos. Ao fazer isso, facilitamos a busca de fatores comuns e a fatoração completa da expressão. Essa técnica é especialmente útil ao lidar com polinômios que têm quatro ou mais termos.

Conceito básico de fatoração

Antes de entrarmos na fatoração por agrupamento, vamos entender alguns conceitos básicos. Fatoração em álgebra envolve dividir expressões em partes mais simples chamadas "fatores". Por exemplo, a expressão:

2x + 6

pode ser fatorada da seguinte forma:

2(x + 3)

Aqui, 2 e (x + 3) são fatores da expressão 2x + 6.

Passos para a fatoração por agrupamento

A fatoração por agrupamento envolve várias etapas claras:

  1. Agrupamento de termos: Divida a expressão em grupos que podem ser fatorados separadamente.
  2. Fatore cada grupo: Tire os fatores comuns de cada grupo.
  3. Extração de fator comum: Procure por fatores comuns entre os grupos e extraia-os como fatores.
  4. Simplifique: Escreva a expressão na forma fatorada.

Compreensão visual da fatoração por agrupamento

Vamos explicar os passos usando um exemplo simples:

Exemplo: x^2 + 5x + 2x + 10 Passo 1: Agrupar as palavras (x^2 + 5x) + (2x + 10) Passo 2: Fatorar cada grupo x(x + 5) + 2(x + 5) Passo 3: Tire o fator comum (x + 5)(x + 2)

Descrevemos cada passo e mostramos como agrupar e fatorar os termos até obtermos uma expressão completamente fatorada.

Exemplo passo a passo

Agora, vamos analisar outro exemplo em mais detalhes:

Exemplo 2: Fatorar um polinômio

Suponha que temos o polinômio:

ax + ay + bx + by

Podemos fatorar essa expressão seguindo estes passos:

Passo 1: Agrupar termos

Agrupe os termos em pares para ajudar a identificar os fatores comuns:

(ax + ay) + (bx + by)

Passo 2: Fatorar cada grupo

Encontre os fatores comuns em cada grupo:

a(x + y) + b(x + y)

Passo 3: Encontrar e remover os fatores comuns

A expressão agora revela um fator comum de (x + y) em ambos os grupos:

(x + y)(a + b)

Agora, a expressão foi completamente fatorada usando agrupamento e extração de fatores comuns.

Mais exemplos para reforçar o aprendizado

Aqui estão mais alguns exemplos para fortalecer ainda mais a sua compreensão da fatoração por agrupamento.

Exemplo 3: Fatores

Fatore a seguinte expressão:

3m^2 + 3mn + 2m + 2n

Solução

  1. Agrupar os termos: (3m^2 + 3mn) + (2m + 2n)
  2. Fatorar cada grupo: 3m(m + n) + 2(m + n)
  3. Encontrar os fatores comuns: (m + n)(3m + 2)

Assim, (m + n)(3m + 2) é a forma fatorada.

Exemplo 4: Fatores

Considere o polinômio:

pq + pr + qr + q^2

Solução

  1. Agrupar os termos: (pq + pr) + (qr + q^2)
  2. Fatore cada grupo: p(q + r) + q(r + q)
  3. Observe que (q + r) e (r + q) são os mesmos, então: (q + r)(p + q)

Ou na forma simplificada (q + r)(p + q) Esta é a forma fatorada.

Identificando quando usar a fatoração por agrupamento

A fatoração por agrupamento é frequentemente melhor usada para polinômios que:

  • Têm quatro posições, que podem ser facilmente agrupadas em pares.
  • Mostram simetria ou padrões recorrentes.
  • Esse problema não parece ser solucionável usando métodos de fatoração simples, como a retirada direta de um fator comum.

Por exemplo, se um polinômio não tem um fator comum óbvio para todos os seus termos, mas parece se dividir em expressões menores, então o agrupamento pode ser a estratégia ideal.

Problemas de prática

Tente usar a fatoração por agrupamento para resolver os seguintes problemas:

Problema 1

Fatore a expressão:

2x^2 + 4x + 3x + 6

Problema 2

Fatore a expressão:

3ab + 3bc + a^2 + ac

Lembre-se de seguir os procedimentos descritos de agrupamento, fatoração, retirada de fatores comuns e simplificação para encontrar suas soluções.

Conclusão

A fatoração por agrupamento é uma ferramenta poderosa em álgebra que ajuda a simplificar expressões complexas. Ao agrupar e fatorar estrategicamente os termos, os alunos podem frequentemente transformar polinômios complexos em formas mais gerenciáveis. Essa técnica requer atenção cuidadosa aos detalhes e prática na identificação de possíveis agrupamentos. Com prática, reconhecer quando e como usar a fatoração por agrupamento se torna algo natural.

Continue a praticar com diferentes problemas e sempre verifique sua forma fatorada final para garantir a precisão. Dominar essa técnica não só ajuda a resolver expressões algébricas, mas também fortalece as habilidades gerais de resolução de problemas.


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Fatoração por agrupamento

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