Grado 8
  1. Sistemas numéricos  1.1. Números racionales  1.2. Números irracionales  1.3. Número real  1.4. Propiedades de los números reales  1.4.1. Activos intercambiables  1.4.2. Propiedad asociativa  1.4.3. Entendiendo la propiedad distributiva  1.5. Representación en la recta numérica  1.6. Operaciones con números reales  1.6.1. Adición y sustracción  1.6.2. Multiplicación y división  1.7. Comprender la racionalización en sistemas numéricos  1.8. Comprendiendo exponentes y potencias  1.9. Raíz cuadrada y raíz cúbica
  2. Álgebra  2.1. Expresión algebraica  2.2. Identificación y simplificación  2.2.1. Multiplicación de binomios  2.2.2. Uso de identidades algebraicas en álgebra  2.3. Entendiendo la factorización en álgebra  2.3.1. Hechos generales  2.3.2. Factorización por agrupación  2.3.3. Comprendiendo la factorización de trinomios  2.3.4. Comprender los productos especiales en factorización  2.4. Ecuaciones lineales en una variable  2.4.1. Resolviendo ecuaciones lineales  2.4.2. Problemas de palabras en ecuaciones lineales
  3. Introducción a la geometría  3.1. Comprendiendo los cuadriláteros  3.1.1. Comprendiendo las propiedades de los cuadriláteros  3.1.2. Tipos de cuadriláteros  3.1.2.1. Cuadrilátero  3.1.2.2. Rectángulo  3.1.2.3. Clase social  3.1.2.4. Entendiendo el rombo en tipos de cuadriláteros  3.1.2.5. Comprendiendo el trapecio  3.2. Construcción  3.2.1. Construcción de un cuadrilátero  3.2.2. Construcción del bisector  3.2.3. Creando un ángulo  3.2.4. Construcción de triángulos  3.3. Simetría y transformación en geometría  3.3.1. Reflexiones en simetrías y transformaciones  3.3.2. Comprender las rotaciones en simetría y transformaciones en geometría  3.3.3. Traducción  3.3.4. Simetría en patrones
  4. Mensuración  4.1. Área y Perímetro  4.1.1. Comprender el perímetro de los polígonos  4.1.2. Área de triángulos  4.1.3. Área de un cuadrilátero  4.1.4. Entendiendo el área de los círculos  4.2. Introducción al área de superficie y volumen  4.2.1. Cubos  4.2.2. Comprender los cuboides: Área de superficie y volumen  4.2.3. Cilindro  4.2.4. Conos: Área de superficie y volumen  4.2.5. Comprendiendo las esferas - área de superficie y volumen
  5. Manejo de datos  5.1. Organizando los datos  5.2. Tabla de distribución de frecuencias  5.3. Representación gráfica de datos  5.3.1. Gráfico de barras  5.3.2. Comprendiendo los histogramas en la gestión de datos  5.3.3. Entendiendo los gráficos de pastel: Una guía completa  5.3.4. Gráfico de líneas (añadido)  5.4. Entendiendo la probabilidad  5.4.1. Introducción a la probabilidad  5.4.2. Probabilidad experimental
  6. Geometría coordinada  6.1. Plano cartesiano  6.2. Dibujo de puntos en geometría de coordenadas  6.3. Sistema de coordenadas  6.4. Distancia entre puntos  6.5. Aplicaciones de la geometría analítica
  7. Introducción a los gráficos  7.1. Gráficas lineales  7.2. Aplicaciones de los gráficos  7.3. Diagrama de distancia-tiempo  7.4. Introducción a los gráficos de velocidad-tiempo
  8. Comparación de cantidades  8.1. Comprender la razón y la proporción en la comparación de cantidades  8.2. Comprender porcentajes en comparación con cantidades  8.2.1. Comprender los porcentajes de aumento y disminución  8.2.2. Descuento porcentual  8.2.3. Comprender el beneficio y la pérdida en porcentaje  8.2.4. Entendiendo el interés simple  8.2.5. Interés compuesto
  9. Exponentes y potencias  9.1. Leyes de los exponentes  9.2. Comprender los exponentes negativos  9.3. Comprensión de los exponentes y exponentes en forma estándar  9.4. Aplicaciones de los exponentes
  10. Introducción a los cuadrados y raíces cuadradas  10.1. Propiedades de los números cuadrados  10.2. Encontrar la raíz cuadrada  10.2.1. Método de factorización en primos  10.2.2. Método de división para encontrar la raíz cuadrada  10.3. Estimación de la raíz cuadrada
  11. Introducción a los cubos y raíces cúbicas  11.1. Propiedades de los números cúbicos  11.2. Encontrar raíces cúbicas  11.2.1. Método de factorización en primos para encontrar raíces cúbicas

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Factorización por agrupación


La factorización por agrupación es un método usado para simplificar expresiones complejas combinando términos en grupos. Al hacer esto, facilitamos la búsqueda de factores comunes y factorizamos completamente la expresión. Esta técnica es especialmente útil cuando se trata de polinomios que tienen cuatro o más términos.

Concepto básico de factorización

Antes de entrar en la factorización por agrupación, comprendamos algunos conceptos básicos. La factorización en álgebra implica descomponer expresiones en partes más simples llamadas "factores". Por ejemplo, la expresión:

2x + 6

puede factorizarse de la siguiente manera:

2(x + 3)

Aquí, 2 y (x + 3) son factores de la expresión 2x + 6.

Pasos en la factorización por agrupación

La factorización por agrupación involucra varios pasos claros:

  1. Agrupación de términos: Divide la expresión en grupos que se puedan factorizar por separado.
  2. Factorización de cada grupo: Factoriza los factores comunes de cada grupo.
  3. Extracción del factor común: Busca factores comunes entre los grupos y extráelos como factores.
  4. Simplificación: Escribe la expresión en forma factorizada.

Comprensión visual de la factorización por agrupación

Expliquemos los pasos usando un ejemplo simple:

Ejemplo: x^2 + 5x + 2x + 10 Paso 1: Agrupar las palabras (x^2 + 5x) + (2x + 10) Paso 2: Factorizar cada grupo x(x + 5) + 2(x + 5) Paso 3: Extraer el factor común (x + 5)(x + 2)

Desglosamos cada paso y mostramos cómo agrupar y factorizar los términos hasta obtener una expresión totalmente factorizada.

Ejemplo paso a paso

Ahora, veamos otro ejemplo con más detalle:

Ejemplo 2: Factorizar un polinomio

Supongamos que tenemos el polinomio:

ax + ay + bx + by

Podemos factorizar esta expresión siguiendo estos pasos:

Paso 1: Agrupar términos

Agrupa los términos en pares para ayudar a identificar factores comunes:

(ax + ay) + (bx + by)

Paso 2: Factorizar cada grupo

Encuentra los factores comunes en cada grupo:

a(x + y) + b(x + y)

Paso 3: Encontrar y eliminar factores comunes

La expresión ahora revela un factor común de (x + y) en ambos grupos:

(x + y)(a + b)

Ahora, la expresión ha sido completamente factorizada utilizando el agrupamiento y la extracción de factores comunes.

Más ejemplos para reforzar el aprendizaje

Aquí hay más ejemplos para fortalecer aún más tu comprensión de la factorización por agrupación.

Ejemplo 3: Factores

Factoriza la siguiente expresión:

3m^2 + 3mn + 2m + 2n

Solución

  1. Agrupa los términos: (3m^2 + 3mn) + (2m + 2n)
  2. Factoriza cada grupo: 3m(m + n) + 2(m + n)
  3. Encuentra los factores comunes: (m + n)(3m + 2)

Así, (m + n)(3m + 2) es la forma factorizada.

Ejemplo 4: Factores

Considera el polinomio:

pq + pr + qr + q^2

Solución

  1. Agrupa los términos: (pq + pr) + (qr + q^2)
  2. Factoriza cada grupo: p(q + r) + q(r + q)
  3. Nota que (q + r) y (r + q) son los mismos, entonces: (q + r)(p + q)

O en forma simplificada (q + r)(p + q) Esta es la forma factorizada.

Identificación de cuándo usar la factorización por agrupación

La factorización por agrupación a menudo es mejor utilizada para polinomios que:

  • Tienen cuatro términos, que pueden agruparse fácilmente en pares.
  • Muestran simetría o patrones recurrentes.
  • No parecen resolverse utilizando métodos de factorización simples como la extracción directa de un factor común.

Por ejemplo, si un polinomio no tiene un factor común obvio para todos sus términos, pero parece descomponerse en expresiones más pequeñas, entonces el agrupamiento puede ser la estrategia ideal.

Problemas de práctica

Intenta usar la factorización por agrupación para resolver los siguientes problemas:

Problema 1

Factoriza la expresión:

2x^2 + 4x + 3x + 6

Problema 2

Factoriza la expresión:

3ab + 3bc + a^2 + ac

Recuerda seguir los procedimientos descritos de agrupación, factorización, extracción de factores comunes y simplificación para encontrar tus soluciones.

Conclusión

La factorización por agrupación es una herramienta poderosa en álgebra que ayuda a simplificar expresiones complejas. Agrupando y factorizando estratégicamente los términos, los estudiantes pueden a menudo transformar polinomios complejos en formas más manejables. Esta técnica requiere atención cuidadosa a los detalles y práctica en la identificación de posibles agrupaciones. Con práctica, reconocer cuándo y cómo usar la factorización por agrupación se convierte en algo natural.

Continúa practicando con diferentes problemas y siempre verifica tu forma factorizada final para asegurar la precisión. Dominar esta técnica no solo ayuda a resolver expresiones algebraicas, sino que también fortalece las habilidades generales de resolución de problemas.


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