Класс 8
  1. Системы счисления  1.1. Рациональные числа  1.2. Иррациональные числа  1.3. Действительное число  1.4. Свойства действительных чисел  1.4.1. Взаимозаменяемые активы  1.4.2. Свойство ассоциативности  1.4.3. Понимание распределительного свойства  1.5. Представление на числовой оси  1.6. Операции с действительными числами  1.6.1. Сложение и вычитание  1.6.2. Умножение и деление  1.7. Понимание рационализации в системах чисел  1.8. Понимание степеней и показателей  1.9. Квадратный корень и кубический корень
  2. Алгебра  2.1. Алгебраическое выражение  2.2. Идентификация и упрощение  2.2.1. Умножение биномиалов  2.2.2. Использование алгебраических тождеств в алгебре  2.3. Понимание факторизации в алгебре  2.3.1. Общие факты  2.3.2. Факторизация по группам  2.3.3. Понимание факторизации триномов  2.3.4. Понимание специальных произведений в факторизации  2.4. Линейные уравнения с одной переменной  2.4.1. Решение линейных уравнений  2.4.2. Задачи на линейные уравнения
  3. Введение в геометрию  3.1. Понимание четырехугольников  3.1.1. Понимание свойств четырехугольников  3.1.2. Типы четырехугольников  3.1.2.1. Четырехугольник  3.1.2.2. Прямоугольник  3.1.2.3. Социальный класс  3.1.2.4. Понимание ромба в видах четырехугольников  3.1.2.5. Понимание трапеции  3.2. Строительство  3.2.1. Построение четырехугольника  3.2.2. Построение биссектрисы  3.2.3. Создание угла  3.2.4. Построение треугольников  3.3. Симметрия и преобразование в геометрии  3.3.1. Отражения в симметриях и преобразованиях  3.3.2. Понимание вращений в симметрии и трансформациях в геометрии  3.3.3. Перевод  3.3.4. Симметрия в узорах
  4. Геометрические измерения  4.1. Площадь и Периметр  4.1.1. Понимание периметра многоугольников  4.1.2. Площадь треугольников  4.1.3. Площадь четырехугольника  4.1.4. Понимание площади кругов  4.2. Введение в площадь поверхности и объем  4.2.1. Кубы  4.2.2. Понимание кубоидов: Площадь поверхности и объем  4.2.3. Цилиндр  4.2.4. Конусы: Площадь поверхности и объем  4.2.5. Понимание сфер - площадь поверхности и объем
  5. Обработка данных  5.1. Организация данных  5.2. Таблица частотного распределения  5.3. Графическое представление данных  5.3.1. Гистограмма  5.3.2. Понимание гистограмм в управлении данными  5.3.3. Понимание круговых диаграмм: Комплексное руководство  5.3.4. Линейный график (добавлено)  5.4. Понимание вероятности  5.4.1. Введение в теорию вероятностей  5.4.2. Экспериментальная вероятность
  6. Координированная геометрия  6.1. Декартова плоскость  6.2. Чертеж точек в координатной геометрии  6.3. Координатная система  6.4. Расстояние между точками  6.5. Применения координатной геометрии
  7. Введение в графики  7.1. Линейные графики  7.2. Применения графиков  7.3. Диаграмма расстояние-время  7.4. Введение в графики скорость-время
  8. Сравнение величин  8.1. Понимание отношения и пропорции при сравнении количеств  8.2. Понимание процентов по сравнению с количествами  8.2.1. Понимание увеличения и уменьшения процентов  8.2.2. Скидка в процентах  8.2.3. Понимание прибыли и убытков в процентах  8.2.4. Понимание простого процента  8.2.5. Сложные проценты
  9. Степени и показатели  9.1. Законы степеней  9.2. Понимание отрицательных показателей  9.3. Понимание степеней и степеней в стандартной форме  9.4. Применение показателей степени
  10. Введение в квадраты и квадратные корни  10.1. Свойства квадратных чисел  10.2. Нахождение квадратного корня  10.2.1. Метод разложения на простые множители  10.2.2. Метод деления для нахождения квадратного корня  10.3. Оценка квадратного корня
  11. Введение в кубы и кубические корни  11.1. Свойства кубических чисел  11.2. Нахождение кубических корней  11.2.1. Метод разложения на простые множители для нахождения кубических корней

Класс 8 → Алгебра ↓


Идентификация и упрощение


Введение в алгебраические тождества

Алгебраические тождества — это уравнения, которые верны для всех значений переменных, участвующих в них. Они похожи на математические истины, которые мы можем использовать для упрощения сложных алгебраических выражений. Понимание этих тождеств помогает нам легче решать алгебраические задачи. Эти тождества формируют основу многих алгебраических манипуляций и упрощений. Давайте углубимся в мир алгебраических тождеств и узнаем, как они работают.

Общие алгебраические тождества

Существует несколько стандартных алгебраических тождеств, с которыми вы часто будете сталкиваться. Вот некоторые из самых распространенных тождеств:

1. Тождество для квадратов

                (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Когда вы возводите биномиальное выражение в квадрат, оно распадается на три члена: квадрат первого члена, удвоенное произведение первого и второго членов и квадрат второго члена.

2. Тождество для разности квадратов

                (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Это тождество похоже на первое, но с вычитанием. Разница заключается в среднем члене, который становится отрицательным.

3. Разность квадратов

                a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)

Это тождество выражает разность двух квадратов как произведение суммы и разности. Оно очень полезно при факторизации выражений.

4. Тождество для кубов

                (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Это тождество показывает, как вы можете расширить куб значения на четыре члена.

5. Тождество для разности кубов

                (a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Похожее на предыдущее тождество, но с вычитанием, влияющим на знаки получаемых членов.

6. Сумма кубов

                a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)

Это тождество помогает при факторизации суммы двух кубов.

7. Разность кубов

                a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)

Оно похоже на сумму кубов, но выражает разность кубов.

Упрощение с использованием тождеств

Теперь, когда вы знаете некоторые общие тождества, давайте посмотрим, как их можно использовать для упрощения алгебраических выражений. Упрощение включает в себя приведение выражения к его самой простой форме. Это можно сделать, применяя соответствующие тождества.

Пример: Упростите (x + 3) 2

                (x + 3) 2 Примените тождество квадрата: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 = x 2 + 2 * x * 3 + 3 2 = x 2 + 6x + 9

Пример: Упростите (4y - 1)(4y + 1)

                (4y - 1)(4y + 1) Примените тождество разности квадратов: a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) Пусть a = 4y и b = 1 = (4y) 2 - 1 2 = 16y 2 - 1

Пример: Упростите x 3 + 27

                x 3 + 27 это сумма кубов Примените тождество суммы кубов: a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2) Пусть a = x и b = 3 = (x + 3)(x 2 - 3x + 9)

Визуализация алгебраических тождеств

Давайте воспользуемся визуальным подходом, чтобы понять, как работают эти тождества. Просмотр геометрического представления этих алгебраических тождеств может сделать их более интуитивно понятными.

Визуальный пример: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

a 2 ab ab b 2

Эта фигура показывает расширение (a + b) 2 как большой квадрат, разделенный на четыре части: a 2, ab, ab и b 2. Два прямоугольника ab представляют собой средний член: 2ab.

Визуальный пример: a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)

a 2 b(a-b) b(a-b)

В этой визуализации тождества разности квадратов зеленый квадрат a 2 уменьшился на b 2 (розовый квадрат) и заменяется двумя прямоугольниками, представляющими произведение b(a-b).

Практические применения тождеств

Алгебраические тождества — это не только теоретические конструкции; они имеют практические применения в различных областях, таких как инженерия, анализ данных, информатика и других. Вот как понимание алгебраических тождеств может быть полезно:

  • Решение задач: Алгебраические тождества помогают упростить сложные выражения, делая их легче для анализа и решения.
  • Программирование: При написании кода разработчики программного обеспечения используют алгебраические тождества для оптимизации алгоритмов для более быстрых расчетов.
  • Инженерия: Инженеры используют тождества для упрощения уравнений, управляющих физическими явлениями, что помогает проектировать и эксплуатировать системы эффективно.
  • Финансы: В финансах тождества помогают упростить выражения в финансовых моделях, делая расчеты более простыми.

Практические задачи

Вот несколько задач для практики, чтобы закрепить ваше понимание алгебраических тождеств:

  1. Упростите выражение (2x + 5) 2 с использованием стандартных тождеств.
  2. Разложите y 2 - 9 с помощью тождества разности квадратов.
  3. Упростите (m - 6) 3 с использованием тождества для кубов.
  4. Используйте тождества для расширения (3p + 4)(3p - 4).
  5. Разложите на множители x 3 - 8 с помощью тождества разности кубов.

Решите эти задачи, используя тождества как ярлык для облегчения расчетов.

Заключение

Алгебраические тождества — это мощные инструменты, которые помогают нам упрощать и эффективно манипулировать алгебраическими выражениями. Они позволяют разбивать сложные проблемы на управляемые части, что приводит к более легким расчетам и решениям. Овладение этими тождествами дает вам прочную основу в алгебре и готовит вас к более сложным математическим концепциям. Продолжайте практиковаться, и вскоре вы обнаружите, что эти тождества станут второй природой, когда вы будете решать больше алгебраических задач.


Класс 8 → 2.2


U
username
0%
завершено в Класс 8

← предыдущая (2.1)
Алгебраическое выражение
следующая (2.2.1) →
Умножение биномиалов

комментарии 



Идентификация и упрощение

https://www.buddymath.com/g8/2.2?bmal=ru