8º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Números racionais  1.2. Números irracionais  1.3. Número real  1.4. Propriedades dos números reais  1.4.1. Ativos permutáveis  1.4.2. Propriedade associativa  1.4.3. Compreendendo a propriedade distributiva  1.5. Representação na reta numérica  1.6. Operações com números reais  1.6.1. Adição e subtração  1.6.2. Multiplicação e divisão  1.7. Compreendendo a racionalização em sistemas numéricos  1.8. Entendendo expoentes e potências  1.9. Raiz quadrada e raiz cúbica
  2. Álgebra  2.1. Expressão Algébrica  2.2. Identificação e simplificação  2.2.1. Multiplicação de binômios  2.2.2. Uso das identidades algébricas na álgebra  2.3. Compreendendo a fatoração em álgebra  2.3.1. Fatos gerais  2.3.2. Fatoração por agrupamento  2.3.3. Compreendendo a fatoração de trinômios  2.3.4. Compreendendo produtos especiais na fatoração  2.4. Equações lineares em uma variável  2.4.1. Resolvendo equações lineares  2.4.2. Problemas de palavras em equações lineares
  3. Introdução à geometria  3.1. Compreendendo os quadriláteros  3.1.1. Compreendendo as propriedades dos quadriláteros  3.1.2. Tipos de quadriláteros  3.1.2.1. Quadrilátero  3.1.2.2. Retângulo  3.1.2.3. Classe social  3.1.2.4. Entendendo o losango nos tipos de quadriláteros  3.1.2.5. Compreendendo o trapézio  3.2. Construção  3.2.1. Construção de um quadrilátero  3.2.2. Construção de bissetriz  3.2.3. Criando um ângulo  3.2.4. Construção de triângulos  3.3. Simetria e transformação em geometria  3.3.1. Reflexões em simetrias e transformações  3.3.2. Compreendendo rotações na simetria e transformações na geometria  3.3.3. Tradução  3.3.4. Simetria em padrões
  4. Mensuração  4.1. Área e Perímetro  4.1.1. Entendendo o perímetro de polígonos  4.1.2. Área de triângulos  4.1.3. Área de um quadrilátero  4.1.4. Compreendendo a área dos círculos  4.2. Introdução à área de superfície e volume  4.2.1. Cubos  4.2.2. Compreendendo paralelepípedos: Área de superfície e volume  4.2.3. Cilindro  4.2.4. Cones: Área de superfície e volume  4.2.5. Compreendendo esferas - área de superfície e volume
  5. Manipulação de dados  5.1. Organizando os dados  5.2. Tabela de distribuição de frequência  5.3. Representação gráfica de dados  5.3.1. Gráfico de barras  5.3.2. Compreendendo histogramas na gestão de dados  5.3.3. Compreendendo gráficos de pizza: Um guia abrangente  5.3.4. Gráfico de linha (adicionado)  5.4. Compreendendo a probabilidade  5.4.1. Introdução à probabilidade  5.4.2. Probabilidade experimental
  6. Geometria coordenada  6.1. Plano cartesiano  6.2. Desenho de pontos na geometria coordenada  6.3. Sistema de Coordenadas  6.4. Distância entre pontos  6.5. Aplicações de geometria analítica
  7. Introdução aos gráficos  7.1. Gráficos lineares  7.2. Aplicações de gráficos  7.3. Diagrama de distância-tempo  7.4. Introdução aos gráficos de velocidade-tempo
  8. Comparação de quantidades  8.1. Compreendendo razão e proporção na comparação de quantidades  8.2. Compreendendo porcentagens em comparação com quantidades  8.2.1. Compreendendo porcentagens de aumento e diminuição  8.2.2. Desconto percentual  8.2.3. Compreendendo Lucro e Perda em Percentagem  8.2.4. Compreendendo o juro simples  8.2.5. Juros compostos
  9. Expoentes e potências  9.1. Leis dos expoentes  9.2. Compreendendo expoentes negativos  9.3. Compreendendo expoentes e expoentes em notação científica  9.4. Aplicações de expoentes
  10. Introdução aos quadrados e raízes quadradas  10.1. Propriedades dos números quadrados  10.2. Encontrando a raiz quadrada  10.2.1. Método de fatoração em números primos  10.2.2. Método de divisão para encontrar a raiz quadrada  10.3. Estimando a raiz quadrada
  11. Introdução aos cubos e raízes cúbicas  11.1. Propriedades dos números cúbicos  11.2. Encontrar raízes cúbicas  11.2.1. Método de fatoração primária para encontrar raízes cúbicas

8º ano → Álgebra ↓


Identificação e simplificação


Introdução às identidades algébricas

Identidades algébricas são equações que são verdadeiras para todos os valores das variáveis envolvidas. Elas são como verdades matemáticas que podemos usar para simplificar expressões algébricas complexas. Compreender essas identidades nos ajuda a resolver problemas algébricos de forma mais fácil e rápida. Essas identidades formam a espinha dorsal de muitas manipulações e simplificações algébricas. Vamos mergulhar profundamente no mundo das identidades algébricas e aprender como elas funcionam.

Identidades algébricas gerais

Existem várias identidades algébricas padrão que você encontrará frequentemente. Aqui estão algumas das identidades mais comuns:

1. Identificação para classes

                (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Quando você quadrado um binômio, ele se expande em três termos: o quadrado do primeiro termo, o dobro do produto dos primeiros e segundos termos, e o quadrado do segundo termo.

2. Identificação de quadrados reduzidos

                (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Esta identidade é semelhante à primeira, mas possui um sinal de subtração. A diferença é vista no termo do meio, que se torna negativo.

3. Diferença de quadrados

                a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)

Esta identidade expressa a diferença de dois quadrados como o produto da soma e da diferença. É muito útil ao fatorar expressões.

4. Identificando cubos

                (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Esta identidade mostra como você pode expandir o cubo de uma quantidade em quatro termos.

5. Identificação de cubos reduzidos

                (a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Semelhante à identidade anterior, mas envolvendo subtração, afetando os sinais dos termos resultantes.

6. Soma de cubos

                a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)

Esta identidade ajuda a fatorar a soma de dois cubos.

7. Diferença de cubos

                a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)

É semelhante à soma de cubos, mas expressa a diferença de cubos.

Simplificação usando identidades

Agora que você conhece algumas identidades comuns, vamos ver como elas podem ser usadas para simplificar expressões algébricas. A simplificação envolve reduzir uma expressão à sua forma mais simples. Isso pode ser feito aplicando identidades adequadas.

Exemplo: Simplifique (x + 3) 2

                (x + 3) 2 Aplique a identidade do quadrado: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 = x 2 + 2 * x * 3 + 3 2 = x 2 + 6x + 9
                (x + 3) 2 Aplique a identidade do quadrado: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 = x 2 + 2 * x * 3 + 3 2 = x 2 + 6x + 9

Exemplo: Simplifique (4y - 1)(4y + 1)

                (4y - 1)(4y + 1) Aplique a identidade da diferença de quadrados: a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) Deixe a = 4y e b = 1 = (4y) 2 - 1 2 = 16y 2 - 1
                (4y - 1)(4y + 1) Aplique a identidade da diferença de quadrados: a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) Deixe a = 4y e b = 1 = (4y) 2 - 1 2 = 16y 2 - 1

Exemplo: Simplifique x 3 + 27

                x 3 + 27 é uma soma de cubos Aplique a identidade da soma de cubos: a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2) Deixe a = x e b = 3 = (x + 3)(x 2 - 3x + 9)
                x 3 + 27 é uma soma de cubos Aplique a identidade da soma de cubos: a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2) Deixe a = x e b = 3 = (x + 3)(x 2 - 3x + 9)

Visualizando identidades algébricas

Vamos adotar uma abordagem visual para compreender como essas identidades funcionam. Olhar para a representação geométrica dessas identidades algébricas pode torná-las mais intuitivas.

Exemplo visual: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

a 2 ab ab b 2

Esta figura mostra a expansão de (a + b) 2 como um grande quadrado dividido em quatro partes: a 2, ab, ab e b 2. Os dois retângulos ab representam o termo do meio: 2ab.

Exemplo visual: a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)

a 2 b(ab) b(ab)

Nesta visualização da identidade da diferença de quadrados, o quadrado verde a 2 teve b 2 (o quadrado rosa) removido, sendo substituído por dois retângulos representando o produto b(ab).

Aplicações práticas das identidades

Identidades algébricas não são apenas construções teóricas; elas têm aplicações práticas em vários campos, como engenharia, análise de dados, ciência da computação e outros. Veja como entender identidades algébricas pode ser útil:

  • Resolução de Problemas: Identidades algébricas ajudam a simplificar expressões complexas, tornando-as mais fáceis de analisar e resolver.
  • Programação: Ao escrever código, os desenvolvedores de software usam identidades algébricas para otimizar algoritmos para cálculos mais rápidos.
  • Engenharia: Engenheiros usam identidades para simplificar as equações que regem fenômenos físicos, ajudando a projetar e operar sistemas de forma eficiente.
  • Finanças: Em finanças, identidades ajudam a simplificar expressões em modelos financeiros, tornando os cálculos mais diretos.

Problemas de prática

Aqui estão alguns problemas de prática para solidificar seu entendimento de identidades algébricas:

  1. Simplifique a expressão (2x + 5) 2 usando identidades padrão.
  2. Fatore y 2 - 9 usando a identidade da diferença de quadrados.
  3. Simplifique (m - 6) 3 usando a identidade do cubo.
  4. Use identidades para expandir (3p + 4)(3p - 4).
  5. Fatore x 3 - 8 usando a identidade da diferença de cubos.

Resolva esses problemas usando identidades como um atalho para facilitar os cálculos.

Conclusão

Identidades algébricas são ferramentas poderosas que nos ajudam a simplificar e manipular expressões algébricas de maneira eficiente. Elas nos permitem dividir problemas complexos em partes gerenciáveis, levando a cálculos e soluções mais fáceis. Dominar essas identidades lhe dá uma base sólida em álgebra e o prepara para conceitos matemáticos mais avançados. Continue praticando, e logo você descobrirá que essas identidades se tornarão uma segunda natureza à medida que resolver mais problemas algébricos.


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Identificação e simplificação

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