कक्षा 8
  1. संख्या प्रणाली  1.1. परिमेय संख्याएँ  1.2. अपरिमेय संख्याएँ  1.3. वास्तविक संख्या  1.4. वास्तविक संख्याओं के गुण  1.4.1. विनिमेय संपत्तियाँ  1.4.2. सहचारी गुण  1.4.3. वितरण गुणधर्म को समझना  1.5. संख्या रेखा पर प्रतिनिधित्व  1.6. वास्तविक संख्याओं पर संचालन  1.6.1. जोड़ और घटाव  1.6.2. गुणा और भाग  1.7. संख्या प्रणालियों में युक्तिकरण को समझना  1.8. घातांक और घातों को समझना  1.9. वर्गमूल और घनमूल
  2. बीजगणित  2.1. बीजीय व्यंजक  2.2. पहचान और सरलीकरण  2.2.1. बायनोमियल्स का गुणा  2.2.2. बीजगणित में बीजगणितीय पहचानों का उपयोग  2.3. बीजगणित में कारक निर्धारण को समझना  2.3.1. सामान्य तथ्य  2.3.2. समूह द्वारा गुणनखंडन  2.3.3. त्रिनोमियल्स का गुणनखंडन समझना  2.3.4. गुणनखंड में विशेष उत्पाद समझना  2.4. एक चर में रैखिक समीकरण  2.4.1. रेखीय समीकरण को हल करना  2.4.2. रैखिक समीकरणों पर शब्द समस्याएं
  3. ज्यामिति का परिचय  3.1. चतुष्कोणों की समझ  3.1.1. चतुर्भुजों के गुणों को समझना  3.1.2. चतुर्भुजों के प्रकार  3.1.2.1. चतुर्भुज  3.1.2.2. आयत  3.1.2.3. सामाजिक वर्ग  3.1.2.4. चारभुजाकार के प्रकारों में समचतुर्भुज की समझ  3.1.2.5. त्रपेज़ियम को समझना  3.2. निर्माण  3.2.1. चतुर्भुज का निर्माण  3.2.2. द्विभाजक का निर्माण  3.2.3. कोण बनाना  3.2.4. त्रिभुजों का निर्माण  3.3. ज्यामिति में सममिति और परिवर्तन  3.3.1. सममितियों और रूपांतरणों में परावर्तन  3.3.2. सममिति और ज्यामिति में गुणकों के घुमाव को समझना  3.3.3. अनुवाद  3.3.4. पैटर्न में समरूपता
  4. मापन  4.1. क्षेत्रफल और परिमाप  4.1.1. बहुभुजों की परिधि को समझना  4.1.2. त्रिभुजों का क्षेत्रफल  4.1.3. चतुर्भुज का क्षेत्रफल  4.1.4. वृत्तों के क्षेत्रफल की समझ  4.2. सतह क्षेत्रफल और आयतन का परिचय  4.2.1. घन  4.2.2. आयताकार घनाभ को समझना: सतह का क्षेत्रफल और आयतन  4.2.3. सिलेंडर  4.2.4. कोन: पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन  4.2.5. गोलकों को समझना - सतह क्षेत्रफल और आयतन
  5. डेटा प्रबंधन  5.1. डेटा का आयोजन  5.2. आवृत्ति वितरण तालिका  5.3. डेटा का ग्राफिकल प्रदर्शन  5.3.1. बार ग्राफ  5.3.2. हिस्टोग्राम  5.3.3. पाई चार्ट को समझना: एक व्यापक मार्गदर्शिका  5.3.4. लाइन ग्राफ (जोड़ा गया)  5.4. संभाव्यता को समझना  5.4.1. परिचय प्रायिकता में  5.4.2. प्रायोगिक प्रायिकता
  6. निर्देशांक ज्यामिति  6.1. कार्टेशियन तल  6.2. निर्देशांक ज्यामिति में बिंदुओं की आरेखण  6.3. निर्देशांक प्रणाली  6.4. बिंदुओं के बीच दूरी  6.5. निर्देशांक ज्यामिति के अनुप्रयोग
  7. ग्राफ का परिचय  7.1. रैखिक ग्राफ  7.2. ग्राफ़ों के अनुप्रयोग  7.3. दूरी-समय आरेख  7.4. स्पीड-टाइम ग्राफ्स का परिचय
  8. मात्राओं की तुलना  8.1. मात्राओं की तुलना में अनुपात और समानुपात को समझना  8.2. मात्राओं की तुलना में प्रतिशत को समझना  8.2.1. प्रतिशत वृद्धि और घटाव को समझना  8.2.2. प्रतिशत छूट  8.2.3. प्रतिशत में लाभ और हानि की समझ  8.2.4. साधारण ब्याज को समझना  8.2.5. चक्रवृद्धि ब्याज
  9. घातांक और घात  9.1. घातांकों के नियम  9.2. नकारात्मक घातांक की समझ  9.3. घातांक और सामान्य रूप में घातांक को समझना  9.4. घातांक के अनुप्रयोग
  10. वर्ग और वर्गमूल की भूमिका  10.1. वर्ग संख्याओं के गुण  10.2. वर्गमूल ढूँढना  10.2.1. मुख्य गुणनखंड विधि  10.2.2. वर्गमूल निकालने के लिए विभाजन विधि  10.3. वर्गमूल का अनुमान लगाना
  11. घन और घनमूल का परिचय  11.1. घन संख्याओं के गुण  11.2. घनमूल खोज  11.2.1. घन मूल खोजने के लिए अभाज्य गुणनखंड विधि

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बीजगणित में बीजगणितीय पहचानों का उपयोग


बीजगणित गणित की एक शाखा है जो चिन्हों और इन चिन्हों के संचालन के नियमों से संबंधित है। बीजगणित में, ये चिन्ह (अक्सर अक्षरों के रूप में प्रदर्शित) संख्याओं के लिए खड़े होते हैं और समीकरणों और सूत्रों के माध्यम से सामान्य संबंधों को प्रकट करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। बीजगणितीय पहचानें बीजगणित में विशेष समीकरण होते हैं जो उनमें शामिल चर के सभी मानों के लिए सत्य होते हैं।

ये पहचानें बड़े पैमाने पर बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को सरल बनाने, समीकरणों को हल करने और गणितीय संरचनाओं को समझने में उपयोग की जाती हैं। प्रभावी ढंग से बीजगणितीय पहचान का उपयोग करना जटिल बीजगणितीय समस्याओं को बहुत आसान और अधिक अंतर्ज्ञानी बना सकता है।

बीजगणितीय पहचानें क्या होती हैं?

बीजगणितीय पहचानें वे समीकरण होती हैं जो शामिल चर के किसी भी मान के लिए सत्य होती हैं। वे संख्याओं और संचालन की मौलिक विशेषताओं को प्रकट करती हैं। इन पहचानों को समझना बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को सरल बनाने या बीजगणितीय समीकरणों को हल करने के लिए आवश्यक है।

कुछ सामान्य बीजगणितीय पहचान शामिल हैं:

  • योग का वर्ग: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
  • घटाव का वर्ग: (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
  • योग और घटाव का गुणनफल: (a + b)(a - b) = a^2 - b^2
  • घन विस्तार: (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

बीजगणितीय पहचानों का महत्व

बीजगणितीय पहचानें महत्वपूर्ण होती हैं क्योंकि वे जटिल अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और बहुपद समीकरणों को हल करने में सहायता करती हैं। प्रत्येक अभिव्यक्ति को मैन्युअल रूप से विस्तार करने और फिर इसे सरल बनाने के बजाय, पहचानें परिणाम प्राप्त करने के लिए एक त्वरित तरीका प्रदान करती हैं। इसके अलावा, कुछ बीजगणितीय पहचानें बहुपदों को फैक्टर करने या समाधानों को सत्यापित करने के लिए भी उपयोग की जा सकती हैं।

सामान्य बीजगणितीय पहचानों को समझना

योग का वर्ग: (a + b)^2

योग के वर्ग की पहचान इस प्रकार है:

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

यह समीकरण बताता है कि जब आपके पास दो संख्याएँ होती हैं, मान लें a और b, और आप उनके योग का वर्ग निकालना चाहते हैं, तो आप इस पहचान का उपयोग कर सकते हैं। आइए इसे एक उदाहरण के साथ समझें:

मान लें a = 3 और b = 4:

(3 + 4)^2 = 3^2 + 2*3*4 + 4^2
 = 9 + 24 + 16
 = 49

(3 + 4)^2 को सीधे गणना करने के बजाय, हमने कदमों को तोड़ने और प्रत्येक घटक को सरल करने के लिए पहचान का उपयोग किया।

दृश्य उदाहरण:

a^2 2AB 2AB b^2

उपरोक्त SVG में, हम देख सकते हैं कि बड़ा वर्ग चार छोटे खंडों से बना है जो a^2, 2ab दो बार और b^2 का प्रतिनिधित्व करते हैं, जो पुष्टि करता है कि (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2।

घटाव का वर्ग: (a - b)^2

घटाव के वर्ग की पहचान questo है:

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

यह योग के वर्ग के समान है, लेकिन यहाँ b घटाया जाता है। चलिए देखते हैं कि यह संख्याओं के साथ कैसे काम करता है:

मान लें a = 5 और b = 2:

(5 - 2)^2 = 5^2 - 2*5*2 + 2^2
 = 25 - 20 + 4
 = 9

हम पहचान का उपयोग करके सीधे गणनाओं से बचते हैं और पदों को सरल बनाते हैं।

दृश्य उदाहरण:

a^2 -2AB -2AB b^2

यह SVG दिखाता है कैसे घटाव का वर्ग योग के वर्ग के समान खंडों में प्रदर्शित होता है, लेकिन नकारात्मक उत्पाद के साथ, जो पहचान में प्रदर्शित कुल क्षेत्रफल को प्रभावित करता है।

योग और घटाव का गुणनफल: (a + b)(a - b)

यह पहचान थोड़ी अलग है क्योंकि यह एक ही पदों के योग और घटाव के गुणनफल को शामिल करता है:

(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

यह पहचान मध्यम पद को समाप्त करने और वर्ग के अंतर को खोजने के लिए उपयोगी है:

मान लें a = 8 और b = 3:

(8 + 3)(8 - 3) = 8^2 - 3^2
 = 64 - 9
 = 55

यह पहचान समाधान को तेजी से सरल बनाती है बिना बहुपदों की संख्या को बढ़ाए।

घन विस्तार: (a + b)^3

घनों से संबंधित एक सामान्य पहचान त्रिक शक्तियों में बाइनोमियल के विस्तार की है:

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

तीन चर को उनके घन पदों में विस्तार करते हुए:

मान लें a = 2 और b = 1:

(2 + 1)^3 = 2^3 + 3*2^2*1 + 3*2*1^2 + 1^3
 = 8 + 12 + 6 + 1
 = 27

यह पहचान हमें घनों को a और b के छोटे गुणकों के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देती है।

अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए बीजगणितीय पहचानों का उपयोग

अब जब हम कुछ पहचान जानते हैं, तो आइए देखें कि वे हमें अभिव्यक्तियों को सरल बनाने में कैसे मदद कर सकती हैं।

उदाहरण 1

(x + 5)^2 - (x - 5)^2 सरल करें:

(x + 5)^2 = x^2 + 2*5*x + 5^2
 = x^2 + 10x + 25
(x - 5)^2 = x^2 - 2*5*x + 5^2
 = x^2 - 10x + 25
(x + 5)^2 - (x - 5)^2 = (x^2 + 10x + 25) - (x^2 - 10x + 25)
 = x^2 + 10x + 25 - x^2 + 10x - 25
 = 20x

प्रत्येक अभिव्यक्ति को अलग से गिनने के बजाय, पहचान प्रभावी ढंग से प्रक्रिया को सरल करती है।

उदाहरण 2

(3x + 2)^2 - 4x(3x + 2) सरल करें:

(3x + 2)^2 = 3x^2 + 2*3x*2 + 2^2
 = 9x^2 + 12x + 4
4x(3x + 2) = 12x^2 + 8x
(3x + 2)^2 - 4x(3x + 2) = 9x^2 + 12x + 4 - 12x^2 - 8x
 = -3x^2 + 4x + 4

वर्ग और वितरण पहचान का उपयोग करके, अभिव्यक्ति को जटिल विस्तारों के बिना सरल बनाया गया है।

निष्कर्ष

बीजगणितीय पहचान का उपयोग बीजगणित में एक शक्तिशाली विधि है जो आपको जटिल अभिव्यक्तियों और समीकरणों को आसानी से हल करने के लिए तैयार करता है। विभिन्न बीजगणितीय परिदृश्यों में किस पहचान को लागू करना है, यह पहचानना समस्या-समाधान कौशल को काफी बढ़ाएगा। जैसे आप अधिक अभ्यास करते हैं, इन पहचानों का अनुप्रयोग स्वाभाविक बन जाएगा, अधिक जटिल क्षेत्रों को खोलते हुए बीजगणित और उच्च गणित।


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बीजगणित में बीजगणितीय पहचानों का उपयोग

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