संख्या प्रणाली

परिचय

गणित में, हम संख्याओं को प्रस्तुत करने और उन पर संचालन करने के लिए विभिन्न तरीकों का उपयोग करते हैं। संख्याओं को प्रस्तुत करने के ये विभिन्न तरीके मिलकर संख्या प्रणाली के रूप में जाने जाते हैं। संख्या प्रणालियों को समझने से हमें संख्याओं के साथ प्रभावी ढंग से काम करना सीखने में मदद मिलती है। इस गाइड में, हम मूल अवधारणाओं, संख्या प्रणालियों के विभिन्न प्रकारों की खोज करेंगे, और उनके बीच कैसे परिवर्तित किया जाए, यह जानेंगे।

संख्या प्रणाली क्या है?

संख्या प्रणाली संख्याओं को एक सुसंगत सेट के प्रतीकों और नियमों का उपयोग करके व्यक्त करने का एक तरीका है। संख्या प्रणाली जोड़, घटाव, गुणा और विभाजन जैसे गणितीय संचालन करने में मदद करती है। समय के साथ विभिन्न संस्कृतियों ने विभिन्न संख्या प्रणालियों का विकास किया है, लेकिन सबसे सामान्य और व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली प्रणाली दशमलव प्रणाली है।

संख्या प्रणालियों के प्रकार

संख्या प्रणालियों के कई प्रकार हैं, लेकिन चार सबसे सामान्य हैं:

1. दशमलव संख्या प्रणाली (आधार 10)
2. बाइनरी संख्या प्रणाली (आधार 2)
3. ऑक्टल संख्या प्रणाली (आधार 8)
4. हेक्साडेसीमल संख्या प्रणाली (आधार 16)

दशमलव संख्या प्रणाली (आधार 10)

दशमलव संख्या प्रणाली वही है जिसका हम अपने दैनिक जीवन में उपयोग करते हैं। यह दस विभिन्न अंकों पर आधारित होती है: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 और 9। प्रत्येक अंक की संख्या में उसकी स्थिति के अनुसार एक अलग स्थान मान होता है। उदाहरण के लिए, संख्या 245 को निम्नलिखित रूप में विस्तारित किया जा सकता है:

245 = 2 * 100 + 4 * 10 + 5 * 1

बाइनरी संख्या प्रणाली (आधार 2)

बाइनरी संख्या प्रणाली मुख्य रूप से कंप्यूटर और डिजिटल सिस्टम में उपयोग होती है। इसमें केवल दो अंक होते हैं, 0 और 1। बाइनरी संख्या में प्रत्येक अंक को 'बिट' कहा जाता है। बाइनरी संख्याएँ महत्वपूर्ण होती हैं क्योंकि कंप्यूटर बाइनरी प्रणाली का उपयोग करते हैं। बाइनरी संख्या का एक उदाहरण इस प्रकार है:

बाइनरी संख्या 1011 को निम्नलिखित रूप में विस्तारित किया जा सकता है:

1011 (बाइनरी) = 1*2^3 + 0*2^2 + 1*2^1 + 1*2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 (दशमलव)

ऑक्टल संख्या प्रणाली (आधार 8)

ऑक्टल संख्या प्रणाली आठ अंकों का उपयोग करती है: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, और 7। इसे कभी-कभी कंप्यूटिंग में उपयोग किया जाता है। ऑक्टल संख्या का एक उदाहरण:

345 (ऑक्टल) = 3*8^2 + 4*8^1 + 5*8^0 = 192 + 32 + 5 = 229 (दशमलव)

हेक्साडेसीमल संख्या प्रणाली (आधार 16)

हेक्साडेसीमल संख्या प्रणाली कंप्यूटिंग और डिजिटल इलेक्ट्रोनिक्स में उपयोग होती है। यह सोलह अद्वितीय अंकों का उपयोग करती है: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, और F। A से F तक के अक्षर दस से पंद्रह तक के नंबरों का प्रतिनिधित्व करते हैं। यहाँ एक हेक्साडेसीमल संख्या का उदाहरण है:

2F (हेक्साडेसीमल) = 2*16^1 + 15*16^0 = 32 + 15 = 47 (दशमलव)

संख्या प्रणालियों के बीच रूपांतरण

दशमलव से बाइनरी

दशमलव को बाइनरी में रूपांतरित करने के लिए, दशमलव संख्या को 2 से भाग दें और शेषांक रिकॉर्ड करें। शून्य तक पहुँचने तक परिणाम को 2 से भाग देना जारी रखें। बाइनरी संख्या शेषांक को नीचे से ऊपर पढ़ने पर प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, 13 को बाइनरी में रूपांतरित करना:

13 / 2 = 6 शेषांक 1
6 / 2 = 3 शेषांक 0
3 / 2 = 1 शेषांक 1
1 / 2 = 0 शेषांक 1

बाइनरी: 1101

बाइनरी से दशमलव

बाइनरी को दशमलव में रूपांतरित करने के लिए, हर बिट को 2 से गुणा करें, जो उसकी स्थिति की घातांक होती है, दाएं से बाएं गिनती करते हुए, 0 से शुरू करें। फिर सभी मानों को जोड़ें। उदाहरण के लिए, 1101 को दशमलव में रूपांतरित करना:

1*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13

दशमलव से ऑक्टल

दशमलव को ऑक्टल में रूपांतरित करने के लिए, दशमलव संख्या को 8 से भाग दें और शेषांक रिकॉर्ड करें। शून्य तक पहुँचने तक परिणाम को 8 से भाग देना जारी रखें। ऑक्टल संख्या शेषांक को नीचे से ऊपर पढ़ने पर प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, 65 को ऑक्टल में रूपांतरित करना:

65 / 8 = 8 शेषांक 1
8 / 8 = 1 शेषांक 0
1 / 8 = 0 शेषांक 1

ऑक्टल: 101

ऑक्टल से दशमलव

ऑक्टल को दशमलव में रूपांतरित करने के लिए, हर अंक को 8 से गुणा करें, जो उसकी स्थिति की घातांक होती है, दाएं से बाएं गिनती करते हुए, 0 से शुरू करें। फिर सभी मानों को जोड़ें। उदाहरण के लिए, 101 को दशमलव में रूपांतरित करना:

1*8^2 + 0*8^1 + 1*8^0 = 64 + 0 + 1 = 65

दशमलव से हेक्साडेसीमल

दशमलव को हेक्साडेसीमल में रूपांतरित करने के लिए, दशमलव संख्या को 16 से भाग दें और शेषांक रिकॉर्ड करें। शून्य तक पहुँचने तक परिणाम को 16 से भाग देना जारी रखें। एक हेक्साडेसीमल संख्या शेषांक को नीचे से ऊपर पढ़ने पर प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, 255 को हेक्साडेसीमल में रूपांतरित करना:

255 / 16 = 15 शेषांक 15 (f)
15 / 16 = 0 शेषांक 15 (एफ)

हेक्साडेसीमल: FF

हेक्साडेसीमल से दशमलव

हेक्साडेसीमल को दशमलव में रूपांतरित करने के लिए, हर अंक को उसकी स्थिति की घातांक में 16 से गुणा करें, दाएं से बाएं गिनती करते हुए, 0 से शुरू करें। A से F तक के अक्षरों मूल्य के लिए उपयोग किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, FF को दशमलव में रूपांतरित करना:

15*16^1 + 15*16^0 = 240 + 15 = 255

निष्कर्ष

संख्या प्रणालियों को समझना विभिन्न क्षेत्रों में महत्वपूर्ण है, विशेषकर कंप्यूटिंग और डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स में। बाइनरी, ऑक्टल और हेक्साडेसीमल जैसी विभिन्न आधारों ने कंप्यूटर पर डेटा को अधिक सरलता से संभालने के तरीके प्रदान किए हैं, जबकि दशमलव प्रणाली दैनिक अंकगणित में केंद्रीय बनी रहती है। इन प्रणालियों के बीच रूपांतरणों के साथ आरामदायक होना आपके विश्लेषणात्मक कौशल को बढ़ाता है और उनके संरचनात्मक सादृश्यता और भिन्नताओं की गहरी समझ प्रदान करता है।

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