कक्षा 8 ↓
घन और घनमूल का परिचय
गणित में, प्रत्येक संख्या का अन्य संख्याओं के साथ विभिन्न संबंध होते हैं। इनमें से कुछ संबंध सरल हो सकते हैं, जबकि अन्य को समझने के लिए थोड़ी अधिक सोच की आवश्यकता हो सकती है। आज, हम "घन" और "घनमूल" की खोज करेंगे, जो इन संख्यात्मक संबंधों को समझने के लिए महत्वपूर्ण अवधारणाएं हैं।
घन क्या है?
किसी संख्या का घन वह संख्या होती है जिसे दो बार स्वयं से गुणा किया जाता है। इससे संख्या को शक्ति तीन में उठाया जाता है। कल्पना करें कि आपके पास एक संख्या है, इसे n कहते हैं। n का घन, जिसे n 3 के रूप में दर्शाया जाता है, निम्नलिखित रूप से गणना किया जाता है:
n × n × n = n 3
इस ऑपरेशन को संख्या "घनित" करना कहते हैं।
घन का उदाहरण
आइए 4 का घन खोजें:
4 × 4 × 4 = 64
इसलिए 4 का घन 64 है।
घनों की दृश्यता
घनों को समझने में मदद करने के लिए, एक त्रिआयामी बॉक्स या घन की कल्पना करें। एक ज्यामितीय घन के सभी पक्ष समान लंबाई के होते हैं। अगर घन का प्रत्येक पक्ष n लंबा है, तो घन का घनफल n 3 होगा।
इस घन का प्रत्येक पक्ष लंबाई n वाला है। घन का घनफल घन के अंदर मौजूद स्थान के रूप में गणना किया जाता है, जिसे n × n × n के रूप में व्यक्त किया जाता है।
सामान्य घन
अभ्यास के लिए कुछ मूल घन याद रखना उपयोगी होता है:
1 3 = 12 3 = 83 3 = 274 3 = 645 3 = 1256 3 = 2167 3 = 3438 3 = 5129 3 = 72910 3 = 1000
घनमूल क्या है?
घनमूल संख्या के घनित के विपरीत क्रिया होती है। यह वह संख्या होती है जिसे तीन बार स्वयं से गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। किसी संख्या n का घनमूल ∛n के रूप में लिखा जाता है।
घनमूल का उदाहरण
27 का घनमूल क्या है?
हमें पता चलता है कि 3 को दो बार स्वयं से गुणा करने पर 27 प्राप्त होता है:
3 × 3 × 3 = 27
इसलिए, ∛27 = 3।
घनमूल की गणना
जैसा कि पिछले उदाहरण में दिखाया गया है, सही घनों के लिए घनमूल की गणना सरल हो सकती है। कुछ सामान्य सही घनों का घनमूल निकालने के लिए अभ्यास करें:
∛1 = 1∛8 = 2∛27 = 3∛64 = 4∛125 = 5∛216 = 6∛343 = 7∛512 = 8∛729 = 9∛1000 = 10
अधूरा घनमूल निकालना
सभी संख्याएं सही घन नहीं होतीं, जिससे उनका घनमूल निकालना थोड़ा जटिल हो सकता है। ऐसे संख्याओं का घनमूल निकालने के लिए अनुमानों या कैलकुलेटर की मदद ली जा सकती है।
अधूरा घनमूल का उदाहरण
आइए 20 का लगभग घनमूल निकालें:
चूंकि 2 3 = 8 और 3 3 = 27, हमें पता है कि ∛20 2 और 3 के बीच में होगा। सख्सेसीव अनुमानों का उपयोग करके, ∛20 ≈ 2.71।
घन और घनमूल के व्यावहारिक अनुप्रयोग
घन और घनमूल केवल सैद्धांतिक अवधारणाएं नहीं हैं, उनका बहुत व्यावहारिक महत्व होता है, विशेषकर इंजीनियरिंग, वास्तुकला और यहां तक कि प्रकृति में भी। उदाहरण के लिए, आयतन की अवधारणा को समझना इमारतों के डिजाइन, पैकेजिंग और विभिन्न वैज्ञानिक गणनाओं के लिए बहुत महत्वपूर्ण है।
वास्तविक दुनिया का उदाहरण
कल्पना करें कि आपको एक पानी की टंकी का आकार तय करना है जो ठीक 1,000 घन मीटर पानी धारण कर सकती है। यह जानते हुए कि कंटेनर को एक घन होना चाहिए, हम आवश्यक पक्ष के लंबाई की गणना कर सकते हैं:
∛1000 = 10
घन के पक्ष की लंबाई 10 मीटर होनी चाहिए।
पुनरीक्षण और अभ्यास
घनों और घनमूलों को सही ढंग से समझने के लिए अभ्यास बहुत महत्वपूर्ण होता है। यहां कुछ अभ्यास दिए गए हैं जो आपकी समझ मजबूत करेंगे:
- संख्या
11का घन निकालें। 729का घनमूल निकालें।50का लगभग घनमूल निकालें।- एक घन का आयतन निकालें जिसकी भुजा की लंबाई
7इकाई है। - अगर
n 3 = 512है तोnके लिए समाधान खोजें।
घन और घनमूल के सिद्धांतों को समझकर, आप अधिक उन्नत गणितीय अवधारणाओं की नींव रखते हैं। चाहे वह आयतन की गणना हो, समीकरण हल करना हो, या वास्तविक दुनिया की समस्याओं को समझना हो, ये ऑपरेशन गणित और उसके अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।
टिप्पणियाँ