Оценка квадратного корня

Понимание квадратных корней является важным навыком в математике, и часто оно начинается с оценки квадратных корней. Оценка квадратных корней подразумевает нахождение приблизительного значения, а не точного числа. Это особенно полезно, когда калькулятор недоступен или когда квадратный корень числа не является простым целым числом. В этом подробном объяснении мы узнаем, как оценивать квадратные корни, используя как визуальные, так и числовые методы. Мы начнем с основ и перейдем к более сложным примерам.

Что такое квадратные корни?

Прежде чем перейти к оценке квадратных корней, давайте кратко обсудим, что такое квадратный корень. Квадратный корень из числа x — это значение, которое, будучи умноженным само на себя, даёт x. Символ квадратного корня — √. Например, квадратный корень из 9 равен 3, потому что 3 × 3 = 9.

√9 = 3

Не все квадратные корни являются целыми числами. Например, квадратный корень из 2 приближенно равен 1,41421356 и продолжается без повторений, что делает его иррациональным числом.

Зачем оценивать квадратный корень?

Иногда мы сталкиваемся с числами, у которых квадратный корень не очевиден, например, 10, 50 или 200. В таких случаях нахождение точного квадратного корня без калькулятора или таблицы является громоздким. Оценка этих значений помогает нам понять их приблизительный размер, что облегчает вычисление и рассуждение о проблемах.

Методы оценки

Метод 1: Использование завершения квадрата

Оценка становится проще, когда мы знаем совершенные квадраты. Совершенные квадраты — это, например, числа 1, 4, 9, 16, 25 и т. д., потому что они являются квадратами целых чисел.

Например:

• 1^2 = 1
• 2^2 = 4
• 3^2 = 9
• 4^2 = 16
• 5^2 = 25

При нахождении квадратного корня из числа, например 20, вы определяете ближайшие совершенные квадраты, которые равны 16 (4^2) и 25 (5^2). Поскольку 20 близко к 16, квадратный корень приблизительно равен 4. Вы можете уточнить эту оценку, потому что 20 немного больше 16, но меньше 25, так что он немного больше 4, но меньше 5. Хорошая оценка будет 4,5.

Метод 2: Визуализация на числовой оси

Представление чисел на числовой оси помогает оценивать квадратные корни. Рассмотрим квадратный корень из 10:

Как видно из визуализации, √9 = 3 и √16 = 4. Квадратный корень из 10 будет где-то между 3 и 4. По визуальной оценке он ближе к 3, чем к 4.

Метод 3: Метод усреднения

Метод усреднения — более систематический подход к уточнению оценки. Если вы оцениваете два числа, a и b, такие как:

a^2 < n < b^2,

где n ваше число, среднее значение a и b дает начальную оценку.

Например, чтобы оценить √50, мы знаем:

• 7^2 = 49
• 8^2 = 64

Поэтому 7 < √50 < 8, мы можем начать со среднего:

Approximate = (7 + 8) / 2 = 7.5

Теперь проверяем: 7.5^2 = 56.25, что больше 50, это значит, что √50 меньше 7,5. Затем пробуем найти более точную оценку между 7 и 7,5, скажем 7,2:

7.2^2 = 51.84

Продолжайте итерации между нижним и верхним пределами, чтобы уточнять до тех пор, пока вас не устроит результат.

Использование методов оценки

Пример 1: Оценка √52

Мы определяем совершенные квадраты вокруг 52, которые следующие:

• 7^2 = 49
• 8^2 = 64

Поэтому 7 < √52 < 8 дает среднее значение:

Average = (7 + 8) / 2 = 7.5

Возведение в квадрат этого значения дает 7.5^2 = 56.25; поэтому √52 меньше. Пробуем 7,2:

7.2^2 = 51.84

Это довольно близко, поэтому наша оценка для √52 составляет около 7,2.

Пример 2: Оценка √78

определяем:

• 8^2 = 64
• 9^2 = 81

Среди них, 8 < √78 < 9 начиная со среднего:

Average = (8 + 9) / 2 = 8.5

8.5^2 = 72.25, значит √78 больше. Пробуем 8,8:

8.8^2 = 77.44

Это более точно. Таким образом, √78 составляет приблизительно 8,8.

Заключение

Оценка квадратных корней — это ценный навык в математике. Используя совершенные квадраты, визуализацию и метод усреднения, студенты могут развивать более глубокое понимание чисел и улучшать свои навыки решения задач. Постоянная практика и применение этих методов оценки делает человека более искусным в работе с числами и понимании рациональности ответов. Независимо от того, используется это в классе или в повседневной жизни, эти методы способствуют критическому мышлению и числовому восприятию.

комментарии