Estimando a raiz quadrada

Entender raízes quadradas é uma habilidade essencial na matemática e muitas vezes começa com a estimativa de raízes quadradas. Estimar raízes quadradas envolve encontrar um valor aproximado, em vez de um número exato. Isso é especialmente útil quando uma calculadora não está disponível ou quando a raiz quadrada de um número não é um inteiro simples. Nesta explicação detalhada, aprenderemos como estimar raízes quadradas usando métodos visuais e numéricos. Começaremos com o básico e avançaremos para exemplos mais complexos.

O que são raízes quadradas?

Antes de começarmos a estimar raízes quadradas, vamos discutir brevemente o que é uma raiz quadrada. A raiz quadrada de um número x é o valor que, quando multiplicado por si mesmo, dá x. O símbolo para uma raiz quadrada é √. Por exemplo, a raiz quadrada de 9 é 3 porque 3 × 3 = 9.

√9 = 3

Nem todas as raízes quadradas são números inteiros. Por exemplo, a raiz quadrada de 2 é aproximadamente 1.41421356 e continua sem repetir, tornando-se um número irracional.

Por que estimar a raiz quadrada?

Às vezes, nos deparamos com números cuja raiz quadrada não é óbvia, como 10, 50 ou 200. Nesses casos, encontrar a raiz quadrada exata sem uma calculadora ou tabela é trabalhoso. Estimar esses valores nos ajuda a entender seu tamanho aproximado, tornando mais fácil calcular e raciocinar sobre problemas.

Métodos de avaliação

Método 1: Usando completar o quadrado

Estimar torna-se mais fácil quando conhecemos os quadrados perfeitos. Quadrados perfeitos são números como 1, 4, 9, 16, 25, etc., porque são quadrados de números inteiros.

Por exemplo:

• 1^2 = 1
• 2^2 = 4
• 3^2 = 9
• 4^2 = 16
• 5^2 = 25

Ao encontrar a raiz quadrada de um número, como 20, você identifica o quadrado perfeito mais próximo que são 16 (4^2) e 25 (5^2). Como 20 está próximo de 16, a raiz quadrada é aproximadamente 4. Você pode refinar essa estimativa porque 20 é um pouco mais que 16, mas menos que 25, então é um pouco mais que 4, mas menos que 5. Uma boa estimativa seria 4.5.

Método 2: Visualização na linha dos números

Representar números em uma linha numérica ajuda a estimar raízes quadradas. Vamos considerar a raiz quadrada de 10:

Como pode ser visto na visualização, √9 = 3 e √16 = 4. A raiz quadrada de 10 estará em algum lugar entre 3 e 4. Conforme a avaliação visual, está mais próxima de 3 do que de 4.

Método 3: Método da média

O método da média é uma abordagem mais sistemática para refinar a estimativa. Se você estimar dois números, a e b, tais como:

a^2 < n < b^2,

Onde n é seu número, a média de a e b fornece uma estimativa inicial.

Por exemplo, para estimar √50, sabemos:

• 7^2 = 49
• 8^2 = 64

Assim, 7 < √50 < 8 podemos começar com a média:

Aproximado = (7 + 8) / 2 = 7.5

Agora, verifique: 7.5^2 = 56.25, que é maior que 50, o que significa que √50 é menor que 7.5. Então tentamos encontrar uma estimativa melhor entre 7 e 7.5, digamos 7.2:

7.2^2 = 51.84

Continue iterando entre os limites inferior e superior para refiná-lo até ficar satisfeito.

Uso das técnicas de estimativa

Exemplo 1: Estimando √52

Identificamos os quadrados perfeitos em torno de 52, que são os seguintes:

• 7^2 = 49
• 8^2 = 64

Portanto, 7 < √52 < 8 dá a média de:

Média = (7 + 8) / 2 = 7.5

Elevando ao quadrado, temos 7.5^2 = 56.25; então √52 é menor. Tente 7.2:

7.2^2 = 51.84

Isso está bem próximo, então nossa estimativa para √52 é cerca de 7.2.

Exemplo 2: Estimando √78

identificar:

• 8^2 = 64
• 9^2 = 81

Entre esses, 8 < √78 < 9 começando com a média:

Média = (8 + 9) / 2 = 8.5

8.5^2 = 72.25, então √78 é maior. Tente 8.8:

8.8^2 = 77.44

Isso é mais preciso. Assim, √78 é aproximadamente 8.8.

Conclusão

Estimar raízes quadradas é uma habilidade valiosa na matemática. Aproveitando quadrados perfeitos, visualização e o método da média, os alunos podem desenvolver uma compreensão mais profunda dos números e melhorar suas habilidades de resolução de problemas. A prática consistente e a aplicação dessas técnicas de estimativa tornam a pessoa mais hábil em trabalhar com números e entender a racionalidade das respostas. Seja usado na sala de aula ou na vida cotidiana, esses métodos promovem o pensamento crítico e o senso numérico.

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