Grado 8 → Introducción a los cuadrados y raíces cuadradas ↓
Estimación de la raíz cuadrada
Comprender las raíces cuadradas es una habilidad esencial en matemáticas, y a menudo comienza con estimar raíces cuadradas. Estimar raíces cuadradas implica encontrar un valor aproximado en lugar de un número exacto. Esto es especialmente útil cuando no se dispone de una calculadora o cuando la raíz cuadrada de un número no es un entero simple. En esta explicación detallada, aprenderemos cómo estimar raíces cuadradas usando métodos tanto visuales como numéricos. Comenzaremos con lo básico y avanzaremos hacia ejemplos más complejos.
¿Qué son las raíces cuadradas?
Antes de comenzar a estimar raíces cuadradas, hablemos brevemente sobre qué es una raíz cuadrada. La raíz cuadrada de un número x es el valor que, cuando se multiplica por sí mismo, da x. El símbolo para una raíz cuadrada es √. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 9 es 3 porque 3 × 3 = 9.
√9 = 3
No todas las raíces cuadradas son números enteros. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 es aproximadamente 1.41421356 y continúa sin repetir, lo que la convierte en un número irracional.
¿Por qué estimar la raíz cuadrada?
A veces encontramos números cuya raíz cuadrada no es obvia, como 10, 50 o 200. En tales casos, encontrar la raíz cuadrada exacta sin una calculadora o tabla es engorroso. Estimar estos valores nos ayuda a entender su tamaño aproximado, lo que facilita el cálculo y el razonamiento sobre problemas.
Métodos de evaluación
Método 1: Completar el cuadrado
La estimación se vuelve más fácil cuando conocemos los cuadrados perfectos. Los cuadrados perfectos son números como 1, 4, 9, 16, 25, etc., porque son cuadrados de números enteros.
Por ejemplo:
1^2 = 12^2 = 43^2 = 94^2 = 165^2 = 25
Al encontrar la raíz cuadrada de un número, como 20, identificas el cuadrado perfecto más cercano, que son 16 (4^2) y 25 (5^2). Como 20 está cerca de 16, la raíz cuadrada es aproximadamente 4. Puedes refinar esta estimación porque 20 es ligeramente más que 16 pero menos que 25, por lo que es ligeramente más que 4 pero menos que 5. Una buena estimación sería 4.5.
Método 2: Visualización en la línea numérica
Representar números en una línea numérica ayuda a estimar raíces cuadradas. Consideremos la raíz cuadrada de 10:
Como se puede ver en la visualización, √9 = 3 y √16 = 4. La raíz cuadrada de 10 estará en algún lugar entre 3 y 4. Según la evaluación visual, está más cerca de 3 que de 4.
Método 3: Método del promedio
El método de promediado es un enfoque más sistemático para refinar la estimación. Si estima dos números, a y b, tales como:
a^2 < n < b^2,
Dónde n es su número, el promedio de a y b proporciona una estimación inicial.
Por ejemplo, para estimar √50, sabemos:
7^2 = 498^2 = 64
Entonces, 7 < √50 < 8 podemos comenzar con el promedio:
Approximate = (7 + 8) / 2 = 7.5
Ahora, verifique: 7.5^2 = 56.25, que es mayor que 50, lo que significa que √50 es menor que 7.5. Luego intentamos encontrar una mejor estimación entre 7 y 7.5, digamos 7.2:
7.2^2 = 51.84
Sigue iterando entre los límites inferior y superior para refinarlo hasta que estés satisfecho.
Uso de técnicas de estimación
Ejemplo 1: Estimación de √52
Identificamos los cuadrados perfectos alrededor de 52, que son los siguientes:
7^2 = 498^2 = 64
Por lo tanto, 7 < √52 < 8 da el promedio de:
Average = (7 + 8) / 2 = 7.5
Elevar esto al cuadrado da 7.5^2 = 56.25; por lo tanto, √52 es menor. Prueba 7.2:
7.2^2 = 51.84
Esto es bastante cercano, por lo que nuestra estimación para √52 es aproximadamente 7.2.
Ejemplo 2: Estimación de √78
identificar:
8^2 = 649^2 = 81
Entre estos, 8 < √78 < 9 comenzando con el promedio:
Average = (8 + 9) / 2 = 8.5
8.5^2 = 72.25, por lo que √78 es mayor. Prueba 8.8:
8.8^2 = 77.44
Esto es más preciso. Por lo tanto, √78 es aproximadamente 8.8.
Conclusión
Estimar raíces cuadradas es una habilidad valiosa en matemáticas. Aprovechando los cuadrados perfectos, la visualización y el método del promedio, los estudiantes pueden desarrollar una comprensión más profunda de los números y mejorar sus habilidades para resolver problemas. La práctica constante y la aplicación de estas técnicas de estimación hacen que uno sea más competente al trabajar con números y entender la racionalidad de las respuestas. Ya sea usado en el aula o en la vida cotidiana, estos métodos promueven el pensamiento crítico y el sentido numérico.
Comentarios