Класс 8
  1. Системы счисления  1.1. Рациональные числа  1.2. Иррациональные числа  1.3. Действительное число  1.4. Свойства действительных чисел  1.4.1. Взаимозаменяемые активы  1.4.2. Свойство ассоциативности  1.4.3. Понимание распределительного свойства  1.5. Представление на числовой оси  1.6. Операции с действительными числами  1.6.1. Сложение и вычитание  1.6.2. Умножение и деление  1.7. Понимание рационализации в системах чисел  1.8. Понимание степеней и показателей  1.9. Квадратный корень и кубический корень
  2. Алгебра  2.1. Алгебраическое выражение  2.2. Идентификация и упрощение  2.2.1. Умножение биномиалов  2.2.2. Использование алгебраических тождеств в алгебре  2.3. Понимание факторизации в алгебре  2.3.1. Общие факты  2.3.2. Факторизация по группам  2.3.3. Понимание факторизации триномов  2.3.4. Понимание специальных произведений в факторизации  2.4. Линейные уравнения с одной переменной  2.4.1. Решение линейных уравнений  2.4.2. Задачи на линейные уравнения
  3. Введение в геометрию  3.1. Понимание четырехугольников  3.1.1. Понимание свойств четырехугольников  3.1.2. Типы четырехугольников  3.1.2.1. Четырехугольник  3.1.2.2. Прямоугольник  3.1.2.3. Социальный класс  3.1.2.4. Понимание ромба в видах четырехугольников  3.1.2.5. Понимание трапеции  3.2. Строительство  3.2.1. Построение четырехугольника  3.2.2. Построение биссектрисы  3.2.3. Создание угла  3.2.4. Построение треугольников  3.3. Симметрия и преобразование в геометрии  3.3.1. Отражения в симметриях и преобразованиях  3.3.2. Понимание вращений в симметрии и трансформациях в геометрии  3.3.3. Перевод  3.3.4. Симметрия в узорах
  4. Геометрические измерения  4.1. Площадь и Периметр  4.1.1. Понимание периметра многоугольников  4.1.2. Площадь треугольников  4.1.3. Площадь четырехугольника  4.1.4. Понимание площади кругов  4.2. Введение в площадь поверхности и объем  4.2.1. Кубы  4.2.2. Понимание кубоидов: Площадь поверхности и объем  4.2.3. Цилиндр  4.2.4. Конусы: Площадь поверхности и объем  4.2.5. Понимание сфер - площадь поверхности и объем
  5. Обработка данных  5.1. Организация данных  5.2. Таблица частотного распределения  5.3. Графическое представление данных  5.3.1. Гистограмма  5.3.2. Понимание гистограмм в управлении данными  5.3.3. Понимание круговых диаграмм: Комплексное руководство  5.3.4. Линейный график (добавлено)  5.4. Понимание вероятности  5.4.1. Введение в теорию вероятностей  5.4.2. Экспериментальная вероятность
  6. Координированная геометрия  6.1. Декартова плоскость  6.2. Чертеж точек в координатной геометрии  6.3. Координатная система  6.4. Расстояние между точками  6.5. Применения координатной геометрии
  7. Введение в графики  7.1. Линейные графики  7.2. Применения графиков  7.3. Диаграмма расстояние-время  7.4. Введение в графики скорость-время
  8. Сравнение величин  8.1. Понимание отношения и пропорции при сравнении количеств  8.2. Понимание процентов по сравнению с количествами  8.2.1. Понимание увеличения и уменьшения процентов  8.2.2. Скидка в процентах  8.2.3. Понимание прибыли и убытков в процентах  8.2.4. Понимание простого процента  8.2.5. Сложные проценты
  9. Степени и показатели  9.1. Законы степеней  9.2. Понимание отрицательных показателей  9.3. Понимание степеней и степеней в стандартной форме  9.4. Применение показателей степени
  10. Введение в квадраты и квадратные корни  10.1. Свойства квадратных чисел  10.2. Нахождение квадратного корня  10.2.1. Метод разложения на простые множители  10.2.2. Метод деления для нахождения квадратного корня  10.3. Оценка квадратного корня
  11. Введение в кубы и кубические корни  11.1. Свойства кубических чисел  11.2. Нахождение кубических корней  11.2.1. Метод разложения на простые множители для нахождения кубических корней

Класс 8 → Введение в квадраты и квадратные корни ↓


Нахождение квадратного корня


Понимание квадратных корней является фундаментальным аспектом математики, который мы собираемся исследовать подробнее. Квадратные корни образуют основу многих математических концепций и могут встречаться в различных областях, таких как геометрия, алгебра и математический анализ. В этом руководстве мы подробно обсудим, что такое квадратные корни, как их находить и их значимость.

Что такое квадратный корень?

Квадратный корень числа — это значение, которое при умножении на себя дает это число. Проще говоря, если n является квадратным корнем x, то n, умноженное на n, равно x. Это соотношение можно выразить формулой:

n * n = x

Например, квадратный корень из 16 равен 4, потому что при умножении 4 на само себя получается 16:

4 * 4 = 16

Квадратные корни совершенных квадратов

Совершенные квадраты — это числа, квадратные корни которых являются целыми числами. Вот список первых нескольких совершенных квадратов и их квадратных корней:

  • 1² = 1, поэтому квадратный корень из 1 равен 1.
  • 2² = 4, поэтому квадратный корень из 4 равен 2.
  • 3² = 9, поэтому квадратный корень из 9 равен 3.
  • 4² = 16, поэтому квадратный корень из 16 равен 4.
  • 5² = 25, поэтому квадратный корень из 25 равен 5.
  • ...и так далее.

Визуальный пример:

4 = 16

В примере выше площадь квадрата со стороной 4 равна 16. Таким образом, 4 является квадратным корнем из 16.

Нахождение квадратных корней из несвершенных квадратов

Когда число не является совершенным квадратом, его квадратный корень не является целым числом. Квадратные корни таких чисел являются иррациональными числами, которые невозможно выразить в виде простых дробей и имеют непериодичные, бесконечно продолжающиеся десятичные части.

Нахождение квадратного корня с использованием оценки:

Самый простой способ найти квадратный корень из несвершенного квадрата — это оценить его. Это работает так:

  1. Определите два совершенных квадрата между которыми находится ваше число.
  2. Оцените квадратный корень в десятичном виде.
  3. Уточните вашу оценку, проверив квадрат вашего предположения и при необходимости подкорректировав его.

Пример:

Давайте найдем квадратный корень из 20 с помощью оценки:

  • Мы знаем, что 4² = 16 и 5² = 25, 20 находится между 16 и 25.
  • Следовательно, квадратный корень из 20 находится между 4 и 5.
  • Если мы попробуем 4,5 (точку среднего значения между 4 и 5):
4.5 * 4.5 = 20.25

Так как 20.25 слегка больше 20, пробуем немного меньшую величину, например, 4.4:

4.4 * 4.4 = 19.36

Теперь 19.36 меньше 20, так что при дальнейшем уточнении квадратный корень из 20 будет примерно 4.47.

Квадратные корни и действительная числовая ось

Понимание квадратных корней также включает распознавание их расположения на действительной числовой оси. Рассмотрим следующий визуальный пример:

Визуальный пример:

0 1 2 3 4 √2

На иллюстрации выше видно, что √2 находится между 1 и 2, что близко к 1,4.

Вычисление квадратного корня с использованием метода деления в столбик

Метод деления в столбик — это систематический способ нахождения приблизительного значения квадратного корня числа. Вот пошаговый подход:

  1. Сначала сгруппируйте цифры в пары справа налево, добавив десятичные точки для исправления концов, если это необходимо.
  2. Найдите наибольшее число, квадрат которого меньше или равен наиболее левому парному значению.
  3. Принесите следующую группу цифр в остаток, чтобы сформировать новый делитель.
  4. Умножьте частное (игнорируя последнюю цифру) на два и подберите временную цифру для нового делителя, чтобы результат умножения этой новой цифры был меньше или равен делимому.
  5. Повторяйте процесс до нужной точности.

Пример:

Давайте вычислим √625 с использованием метода деления в столбик:

  1. Группы знаков: (6 25)
  2. 6: Наибольшее число, квадрат которого меньше или равен 6, это 2 (поскольку 2² = 4).
  3. Вычитаем: 6 - 4 = 2, добавляем 25, чтобы сделать 225.
  4. Новый делитель: 2 * 2 = 4_ Оставляем одну цифру (5), корректируя при необходимости: 45 * 5 = 225.
  5. Остатка нет, так что квадратный корень из 625 равен 25.

Особые случаи и свойства

Некоторые свойства и особые случаи квадратного корня упрощают расчеты:

  • Квадратный корень из 0: Квадратный корень из 0 всегда равен 0.
  • Квадратные корни из отрицательных чисел: Квадратные корни из отрицательных чисел не принадлежат действительным числам. Они выражаются с использованием мнимых чисел.
  • Свойство произведения: Квадратный корень произведения равен произведению квадратных корней.
    √(a * b) = √a * √b
  • Свойство частного: Квадратный корень частного равен частному квадратных корней.
    √(a / b) = √a / √b если b ≠ 0

Применение квадратных корней

Квадратные корни появляются во многих аспектах реальной жизни и академического применения:

  • Геометрия: Вычисление площади квадрата или стороны прямоугольника, находя его диагонали.
  • Физика: Равномерные уравнения включают квадратные корни, так же как и уравнения движения.
  • Инженерия: Проекты с резисторами, конденсаторами и индукторами, которые используют квадратные корни для определения параметров.

Заключение

Нахождение квадратных корней является важной частью математики. Понимая метод оценки и метод деления в столбик, мы можем находить квадратные корни как совершенных, так и несовершенных квадратов. Эти знания распространяются на многие практические приложения, делая это необходимым навыком как в учебных, так и в реальных сценариях. Практикуя эти методы, любой сможет добиться точности и эффективности в нахождении квадратных корней.


Класс 8 → 10.2


U
username
0%
завершено в Класс 8

← предыдущая (10.1)
Свойства квадратных чисел
следующая (10.2.1) →
Метод разложения на простые множители

комментарии 



Нахождение квадратного корня

https://www.buddymath.com/g8/10.2?bmal=ru