वर्गमूल निकालने के लिए विभाजन विधि

गणित में, विभाजन विधि, जिसे लंबी विभाजन विधि के रूप में भी जाना जाता है, एक पारंपरिक तरीका है किसी संख्या का वर्गमूल निकालने का। यह विधि व्यापक रूप से तब उपयोग की जाती थी जब कैलकुलेटर और कंप्यूटर आज जितने सुलभ नहीं थे। विभाजन विधि को समझने से हमें गणित की संरचना की गहन समझ मिलती है और संख्यात्मक संबंधों को समझने में सहायता मिलती है।

संकल्पनाओं को समझना

विधि को विस्तार से समझने से पहले, आइए कुछ मुख्य संकल्पनाओं को दोहराते हैं:

• वर्ग: जब किसी संख्या को स्वयं से गुणा किया जाता है, तो परिणाम उस संख्या का वर्ग कहलाता है। उदाहरण के लिए, 3 का वर्ग 9 होता है क्योंकि 3 * 3 = 9।
• वर्गमूल: किसी संख्या का वर्गमूल वह मान होता है जो स्वयं से गुणा करने पर मूल संख्या देता है। उदाहरण के लिए, 9 का वर्गमूल 3 होता है क्योंकि 3 * 3 = 9।

विभाजन विधि में कदम

वर्गमूल निकालने के लिए विभाजन विधि में कई चरण होते हैं, जो सरल लेकिन व्यवस्थित होते हैं। निम्नलिखित भागों में हम उदाहरणों और विवरणों के साथ इन चरणों की अधिक गहराई से व्याख्या करेंगे।

उदाहरण: 784 का वर्गमूल निकालना

हम संख्या 784 का उपयोग करके विभाजन विधि समझाते हैं।

चरण 1: अंक समूहित करें

संख्या के अंक को दाएं से बाएं जोड़कर जोड़े बनाएं। इस मामले में, 784 को (7)(84) के रूप में जोड़े में विभाजित किया जा सकता है। यदि एक अंक बचता है, तो इसे ऐसा ही छोड़ दें।

इस मामले में, 784 को इस तरह विभाजित किया गया है:

 7 | जोड़े | 84

चरण 2: एक संख्या खोजें

फिर, सबसे बड़ा ऐसा अंक खोजें जिसका वर्ग पहले जोड़े के बराबर या उससे कम हो। यहां, पहला "जोड़ा" वास्तव में संख्या 7 है।

2 का वर्ग 4 है, और 3 का वर्ग 9 है। क्योंकि 3 बहुत अधिक है (क्योंकि 9, 7 से अधिक है), हम 2 चुनते हैं। परिणाम के भागफल के रूप में 7 के ऊपर 2 लिखें, और इसे इसके साथ ही विभाजक के रूप में भी लिखें।

        2
    ,
    2 | 7 | 84
        4

यदि हम 4 के वर्ग को 7 से घटाते हैं, तो हमें शेष 3 मिलती है।

चरण 3: अगले जोड़े को नीचे लाएं

अगले जोड़े को नीचे लाएं, इस मामले में 84, और इसे शेषफल के साथ जोड़ें। यह 384 बन जाता है।

        2
    ,
    2 | 7 | 84
        4
        ,
        384

चरण 4: विभाजक को दोगुना करें

अब तक उपयोग किए गए विभाजक को दोगुना करें। क्योंकि विभाजक 2 है, इसे दोगुना करने पर 4 प्राप्त होता है। इसे शेषफल के बगल में लिखें, और परिणाम के अगले अंक के लिए एक खाली स्थान छोड़ें।

        2 _
    ,
    2 | 7 | 84
        4
        ,
        384
        4_

चरण 5: अगला अंक खोजें

अगला कदम उस अंक को खोजने का है जो खाली स्थान को प्रतिस्थापित करेगा ताकि जब इस नए विभाजक को उस अंक से गुणा किया जाए, तो उत्पाद 384 के बराबर या उससे कम हो। खाली स्थान और परिणाम में वही अंक जोड़ें।

आइए 8 का प्रयास करते हैं:

        28
    ,
    2 | 7 | 84
        4
        ,
        384
        48

48 को 8 से गुणा करने पर 384 मिलता है, जो बिल्कुल सही है।

चरण 6: घटाएं और सत्यापित करें

384 को 384 से घटाएं, जिसका परिणाम 0 होगा। यह दर्शाता है कि कोई शेष नहीं है, जो प्रक्रिया को पूर्ण और सटीक साबित करता है।

        28
    ,
    2 | 7 | 84
        4
        ,
        384
        384
        ,
        0

इसलिए, 784 का वर्गमूल 28 निर्धारित किया जाता है।

अतिरिक्त उदाहरण और अभ्यास

उदाहरण: 1521 का वर्गमूल निकालना

संख्या 1521 में चार अंक हैं। पहले की तरह चरण आरंभ करें:

चरण 1: अंक समूहित करें

दाएं से बाएं जोड़ें: (15)(21)।

 15 | जोड़े | 21

चरण 2: एक संख्या खोजें

सबसे बड़ा पूर्णांक ज्ञात करें जिसका वर्ग 15 के बराबर या उससे कम हो: 3 (क्योंकि 3^2 = 9 और 4^2 = 16)।

        3
    ,
    3 | 15 | 21
        9

15 से 9 घटाने पर 6 मिलता है, फिर अगला जोड़ा नीचे लाने पर 621 मिलता है।

चरण 3 और 4: विभाजक को दोगुना करें और संशोधित करें

विभाजक (3) को दोगुना करें, अगले अंक के लिए जगह बनाते हुए।

        3 _
    ,
    3 | 15 | 21
        9
        ,
        621
        6_

चरण 5: अगला अंक खोजें

आइए 8 का प्रयास करें। 68 (जो 6 में 8 जोड़कर बनाया गया है) को 8 से गुणा करें, जो 544 देता है।

        38
    ,
    3 | 15 | 21
        9
        ,
        621
        608

544 को 621 से घटाने पर शेष 77 मिलता है।

चरण 6: आवश्यकता पड़ने पर पुनरावृत्ति करें

नए अंशात्मक विभाजक पर दोगुना की प्रक्रिया दोहराएं। यदि बिंदु से परे सटीकता की आवश्यकता है, तो दशमलव स्थान जोड़ें, शून्य के साथ जोड़े के अनुक्रम को जारी रखें।

        38
    ,
    3 | 15 | 21
        9
        ,
        621
        608
        ,
        13

1521 का वर्गमूल लगभग 38 है। इस अनुमान को बढ़ाया जा सकता है या गणना को दशमलव स्थानों के साथ दोहराया जा सकता है, जैसा ऊपर दिखाया गया है।

अभ्यास के प्रश्न

विभाजन विधि का उपयोग करते हुए इन संख्याओं का वर्गमूल निकालने का अभ्यास करें:

1. 1296
2. 256
3. 361
4. 1024
5. 2025

निष्कर्ष

वर्गमूल निकालने की विभाजन विधि, संख्याओं के अनुमानित मूलों को निर्धारित करने का एक व्यवस्थित तरीका है, जो गहरे गणितीय संबंधों को प्रकट करता है। यहां तक कि कैलकुलेटर के युग में, इस विधि को समझना संख्यात्मक संचालन और सटीकता अपेक्षाओं में एक मजबूत नींव प्रदान करता है। यह दृष्टिकोण मूल्यांकन या प्रत्यक्ष गणना से अधिक जटिल है, लेकिन यह विश्लेषणात्मक संदर्भों के लिए मजबूत समझ प्रदान करता है।

इस विधि को समझने से प्राप्त गंभीर अंतर्दृष्टि समस्या समाधान तकनीकों को बढ़ावा देती है, स्पष्टता को प्रोत्साहित करती है, और उन्नत गणित के लिए आवश्यक कौशल को मजबूत करती है। अभ्यास द्वारा, कोई आत्मविश्वास के साथ इन कोर कौशल के अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला को प्रभावी ढंग से प्रबंधित कर सकता है।

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