वर्गमूल और घनमूल
गणित में संख्या प्रणाली के अवधारणाओं में महारत हासिल करने का एक महत्वपूर्ण हिस्सा वर्गमूल और घनमूल को समझना है। यह विषय हमें गणित की समस्याओं को सरल बनाने और जटिल समीकरणों को हल करने में मदद करता है। चलिए इन अवधारणाओं को कदम दर कदम समझते हैं।
वर्गमूल
किसी संख्या का वर्गमूल वह मान है जो स्वयं से गुणा करने पर मूल संख्या देता है। वर्गमूल का प्रतीक √ है।
गणितीय रूप से, यदि x y का वर्गमूल है, तो:
x * x = yवर्गमूल के उदाहरण
चलो कुछ सरल उदाहरणों से शुरू करते हैं:
16का वर्गमूल4है क्योंकि4 * 4 = 16।25का वर्गमूल5है क्योंकि5 * 5 = 25।36का वर्गमूल6है क्योंकि6 * 6 = 36।
इन उदाहरणों को दृश्य रूप से निम्नानुसार प्रस्तुत किया जा सकता है:
इन अनुक्रमों में, प्रत्येक वर्ग एक संख्या है जो स्वयं से गुणा की जाती है ताकि एक पूर्ण वर्ग बने।
अपूर्ण वर्गों के वर्गमूल ज्ञात करना
उन संख्याओं का वर्गमूल ज्ञात करना जिनके पूर्ण वर्ग नहीं होते हैं, अधिक प्रयास की आवश्यकता होती है। इसमें अक्सर अनुमान लगाना या कैलकुलेटर का उपयोग करना शामिल होता है। उदाहरण के लिए, 20 का वर्गमूल लगभग 4.47 है क्योंकि 4.47 * 4.47 ≈ 20।
सामान्यतः, अपूर्ण वर्गों के लिए, आप संख्या के आस-पास के पूर्ण वर्गों को सूचीबद्ध करके उनका उपयोग अनुमान के लिए कर सकते हैं। उदाहरण के लिए:
20का वर्गमूल4(क्योंकि4 * 4 = 16) और5(क्योंकि5 * 5 = 25) के बीच है।
वर्गमूल गुणधर्म का उपयोग
वर्गमूल गुणधर्म कहता है कि किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या a और b के लिए:
a^2 = b ⇒ a = √bयह गुणधर्म उन समीकरणों को हल करने में मदद करता है जिनमें वर्ग होते हैं। उदाहरण के लिए, x^2 = 49 को हल करते समय, हम वर्गमूल गुणधर्म का उपयोग करके पाते हैं:
x = √49 = 7घनमूल
घनमूल भी उसी प्रकार कार्य करता है जैसे वर्गमूल, लेकिन इसमें संख्या का स्वयं से दो बार गुणा शामिल होता है। किसी संख्या का घनमूल वह मान है जो तीन बार गुणा करने पर मूल संख्या देता है। घनमूल का प्रतीक ∛ है।
गणितीय रूप से, यदि y z का घनमूल है, तो:
y * y * y = zघनमूल के उदाहरण
यहाँ कुछ सरल उदाहरण दिए गए हैं:
8का घनमूल2है क्योंकि2 * 2 * 2 = 8।27का घनमूल3है क्योंकि3 * 3 * 3 = 27।64का घनमूल4है क्योंकि4 * 4 * 4 = 64।
इन उदाहरणों को दृश्य रूप से निम्नानुसार प्रदर्शित किया जा सकता है:
पूर्ण घनों के लिए, प्रत्येक घन का दृश्य एक मान के रूप में होता है जो स्वयं से तीन बार गुणा होता है।
अपूर्ण घनों के घनमूल का पता लगाना
अपूर्ण घनों के घनमूल की गणना कैलकुलेटर के बिना कठिन होती है, लेकिन आप अभी भी अनुमान का उपयोग कर सकते हैं। 50 के घनमूल पर विचार करें यह इसके बीच है:
3(क्योंकि3 * 3 * 3 = 27)4(क्योंकि4 * 4 * 4 = 64)
घनमूल गुणधर्म का उपयोग
घनमूल गुणधर्म घनों की घातांकों में शामिल समीकरणों को हल करने में उपयोगी होता है। किसी भी संख्या b के लिए:
a^3 = b ⇒ a = ∛bउदाहरण के लिए, यदि हम x^3 = 125 को हल करना चाहते हैं, तो हम निम्नलिखित गुणधर्म का उपयोग करके पाते हैं:
x = ∛125 = 5विविध उदाहरण और अभ्यास
आइए कुछ मिश्रित उदाहरणों के साथ अभ्यास करें ताकि हमारी समझ मजबूत हो सके:
81का वर्गमूल ज्ञात करें:
वर्गमूल9है क्योंकि9 * 9 = 81।216का घनमूल ज्ञात करें:
घनमूल6है क्योंकि6 * 6 * 6 = 216।121का वर्गमूल ज्ञात करें:
वर्गमूल11है।343का घनमूल ज्ञात करें:
घनमूल7है क्योंकि7 * 7 * 7 = 343।
सारांश
वर्गमूल और घनमूल संख्या प्रणाली में संख्याओं के बीच संबंधों को समझने में मदद करते हैं। वर्गमूल में वह संख्या ज्ञात करना शामिल होता है जो स्वयं से गुणा कर मूल संख्या बनती है। घनमूल में वह संख्या ज्ञात करना शामिल होता है जो स्वयं से तीन बार गुणा कर मूल संख्या बनती है। इन प्रक्रियाओं को समझने से विभिन्न गणितीय समस्याओं को हल करने में मदद मिलती है।
अधिक अभ्यास के साथ, वर्गमूल और घनमूल के अवधारणाएं समझना आसान हो जाता है, जिससे आपके लिए जटिल गणितीय समस्याओं को आत्मविश्वास के साथ हल करना संभव हो जाता है।
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